Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Нормаль плоскости


Нормальная плоскость и главная нормаль кривой

Содержание:

  1. Нормальная плоскость.
  2. Главная нормаль.

Нормальная плоскость.

Плоскость \(\mathcal{P}\), проходящую через точку \(M_{0}\) кривой \(\Gamma\) и перпендикулярную касательной к этой кривой в точке \(M_{0}\), называют нормальной плоскостью кривой \(\Gamma\) в точке \(M_{0}\).

Рис. 22.5Рис. 22.5

Если кривая \(\Gamma\) задана уравнением в векторной форме $$ \Gamma={\textbf{r}=\textbf{r}(t),\;\alpha\leq t\leq\beta},\label{ref3} $$ где $$ \textbf{r}=(x,y,z),\quad \textbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)),\nonumber $$ \(t_{0}\in[\alpha,\beta]\), \(\overrightarrow{OM_0}=\textbf{r}(t_0)\) и \(\textbf{r}'(t_0)\neq 0\), то вектор \(\textbf{r}'(t_0)\) параллелен касательной к кривой \(\Gamma\) в точке \(M_{0}\). Пусть \(M\) — произвольная точка нормальной плоскости \(\mathcal{P}\) (рис. 22.5), \(\overrightarrow{OM}=\textbf{r}\). Тогда вектор \(\overrightarrow{MM}_{0}=\textbf{r}-\textbf{r}(t_0)\) перпендикулярен вектору \(\textbf{r}'(t_{0})\), и поэтому уравнение нормальной плоскости \(\mathcal{P}\) к кривой \(\Gamma\) в точке \(M_{0}\) можно записать в виде $$ (\textbf{r}-\textbf{r}(t_{0}),\textbf{r}'(t_{0}))=0\nonumber $$ или $$ (x-x(t_{0}))x'(t_0)+(y-y(t_{0}))y'(t_{0})+(z-z(t_0))z'(t_0)=0.\nonumber $$

Вернуться наверх

Главная нормаль.

Любую прямую, лежащую в нормальной плоскости \(\mathcal{P}\) к кривой \(\Gamma\) в точке \(M_{0}\), называют нормалью кривой \(\Gamma\) в точке \(M_{0}\).Среди всех нормалей выделяют одну — главную нормаль.

Понятие главной нормали требует введения дополнительных ограничений на вектор-функции, с помощью которых записываются уравнения кривых. Пусть \(\Gamma\) — гладкая кривая, заданная уравнением \eqref{ref3}, причем для всех \(t\in[\alpha,\beta]\) существует \(\textbf{r}''(t)\). В этом случае говорят, \(\Gamma\) — дважды дифференцируемая кривая без особых точек.

Утверждение 1.

Если \(\Gamma\) — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, заданная уравнением \eqref{ref3}, \(s\) — переменная длина дуги кривой \(\Gamma\), то существуют \(\displaystyle \frac{d\textbf{r}}{ds}\) и \(\displaystyle \frac{d^{2}\textbf{r}}{ds^{2}}\) и справедливы равенства $$ \frac{d\textbf{r}}{ds}=\frac{\textbf{r}'(t)}{s'(t)},\label{ref26} $$ $$ \frac{d^{2}r\textbf{}}{ds^{2}}=\frac{s'(t)\textbf{r}''(t)-s''(t)\textbf{r}'(t)}{(s(t))^{3}}.\label{ref27} $$

\(\circ\) Применяя правило дифференцирования вектор-функции при замене переменного, получаем Формулу \eqref{ref26}: $$ \frac{d\textbf{r}}{ds}=\frac{d\textbf{r}}{dt}\frac{dt}{ds}=\frac{d\textbf{r}}{dt}\frac{1}{s'(t)}=\frac{\textbf{r}'(t)}{s'(t)}.\nonumber $$ Используя формулу \eqref{ref26} и правило дифференцирования произведения векторной функции на скалярную, находим $$ \frac{d^{2}\textbf{r}}{ds^{2}}=\frac{d}{dt}\left(\frac{d\textbf{r}}{ds}\right)\frac{dt}{ds}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\textbf{r}'(t)}{s'(t)}\right)\frac{1}{s'(t)}=\left(\frac{\textbf{r}''(t)}{s'(t)}-\frac{s''(t)\textbf{r}'(t)}{(s(t))^{2}}\right)\frac{1}{s'(t)},\nonumber $$ откуда следует формула \eqref{ref27}.

Заметим, что \(s''(t)\) существует, так как \(s'(t)=|\textbf{r}'(t)|\), $$ s''(t)=\frac{d}{dt}(|\textbf{r}'(t)|)=\frac{d}{dt}(\textbf{r}'(t),\textbf{r}'(t))^{1/2},\nonumber $$ а \(\textbf{r}''(t)\) существует и \(|\textbf{r}'(t)|\neq 0\). \(\bullet\)

Перейдем к определению главной нормали. Будем считать, что \(\Gamma\) — дважды дифференцируемая кривая без особых точек, заданная уравнением \eqref{ref3}. Тогда существуют \(\displaystyle \frac{d\textbf{r}}{ds}\) и \(\displaystyle\frac{d^{2}\textbf{r}}{ds^{2}}\), причем \(\displaystyle \frac{d\textbf{r}}{ds}\) — единичный вектор в силу данного утверждения. Обозначим этот вектор буквой \(\tau\). Тогда $$ \frac{d\textbf{r}}{ds}=\tau,\quad |\tau|=1,\label{ref28} $$ и поэтому (см. данный пример) вектор \(\displaystyle \frac{d\tau}{d_{s}}=\frac{d^{2}\textbf{r}}{ds^{2}}\) ортогонален вектору \(\tau\).

Предположим, что $$ \frac{d\tau}{ds}\neq 0,\label{ref29} $$ и обозначим $$ k=|\frac{d\tau}{ds}|.\label{ref30} $$

Пусть \(\nu\) — единичный вектор, параллельный вектору \(\displaystyle \frac{d\tau}{ds}\). Тогда $$ \frac{d\tau}{ds}=k\nu,\quad|\nu|=1,\label{ref31} $$ причем вектор \(\nu\) ортогонален вектору \(\tau\).

Так как вектор \(\tau=\displaystyle \frac{d\textbf{r}}{ds}\) параллелен вектору касательной \(r'(t)\) к кривой \(\Gamma\) в силу равенства \eqref{ref26}, то из \eqref{ref31} следует, что вектор \(\nu\) параллелен нормальной плоскости кривой \(\Gamma\) в точке \(M\) (\(\overrightarrow{OM}=r(t)\)). Поэтому вектор \(\nu\) параллелен одной из нормалей кривой \(\Gamma\) в точке \(M\). Эту нормаль называют главной.

Итак, если в точке \(M\in\Gamma\) выполняется условие \eqref{ref29}, то нормаль к кривой \(\Gamma\) в точке \(M\), параллельная вектору \(\nu\) (формула \eqref{ref31}), называется главной нормалью.

Вернуться наверх

univerlib.com

Касательная плоскость и нормаль к поверхности — Мегаобучалка

Определение 1. Касательной плоскостью к поверхности в данной точке P (x0, y0, z0) называется плоскость, проходящая через точку Р и содержащая в себе все касательные, построенные в точке Р ко всевозможным кривым на этой поверхности, проходящим через точку Р.

Пусть поверхность s задана уравнением F (х, у, z) = 0 и точка P (x0, y0, z0) принадлежит этой поверхности. Выберем на поверхности какую-либо кривую L, проходящую через точку Р.

Пусть х = х(t), у = у(t), z = z(t) – параметрические уравнения линии L.

Предположим, что: 1) функция F(х, у, z) дифференцируема в точке Р и не все её частные производные в этой точке равны нулю; 2) функции х(t), у(t), z(t) также дифференцируемы.

Поскольку кривая принадлежит поверхности s , то координаты любой точки этой кривой, будучи подставленными в уравнение поверхности, обратят его в тождество. Таким образом, справедливо тождественное равенство: F [x(t), у(t), z (t)] = 0.

Продифференцировав это тождество по переменной t, используя цепное правило, получим новое тождественное равенство, справедливое во всех точках кривой, в том числе и в точке P (x0, y0, z0):

 

.

Пусть точке Р соответствует значение параметра t0, то есть x0 = x (t0), y0 = y (t0), z0 = z (t0). Тогда последнее соотношение, вычисленное в точке Р, примет вид

 

. (17)

 

Формула (17) представляет собой скалярное произведение двух векторов. Первый из них – постоянный вектор

,

не зависящий от выбора кривой на поверхности .

 

Второй вектор – касательный в точке Р к линии L, а значит, зависящий от выбора линии на поверхности, то есть является переменным вектором.

При введённых обозначениях равенство (17) перепишем как . Его смысл таков: скалярное произведение равно нулю, следовательно, векторы и перпендикулярны. Выбирая всевозможные кривые (см. рис. 54), проходящие через точку Р на поверхности s , мы будем иметь различные касательные векторы, построенные в точке Р к этим линиям; вектор же от этого выбора не зависит и будет перпендикулярен любому из них, то есть все касательные векторы

 

расположены в одной плоскости, которая, по определению, является касательной к поверхности s , а точка Р в этом случае называется точкой касания. Вектор является направляющим вектором нормали к поверхности.

 

7 производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.

 

Рассмотрим функцию от аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции в точке по направлению следующим образом:

Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора .

Если направление сонаправленно с координатной осью, то производная по направлению совпадает с частной производной по этой координате.

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ

и = f(x, у, z), заданной в некоторой обл. пространства (X Y Z), есть вектор с проекциями обозначаемый символами: grad где i, j, k — координатные орты. Г. ф. — есть функция точки (х, у, z), т. е. он образует векторное поле. Производная в направлении Г. ф. в данной точке достигает наибольшего значения и равна: Направление градиента есть направление наибыстрейшего возрастания функции. Г. ф. в данной точке перпендикулярен поверхности уровня, проходящей через эту точку.

 

megaobuchalka.ru

нормаль к плоскости - это... Что такое нормаль к плоскости?

 нормаль к плоскости n

geol. Flächennormale

Универсальный русско-немецкий словарь. Академик.ру. 2011.

  • нормаль к плоской узловой сетке
  • нормаль к плоскости напластования

Смотреть что такое "нормаль к плоскости" в других словарях:

  • НОРМАЛЬ — (фр.). Перпендикуляр к касательной, проведенной к кривой, в данной точке, нормаль которой отыскивается. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. НОРМАЛЬ перпендикулярная линия к касательной, проведенной к… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • нормаль — и, ж. normale f. <лат. normalis. 1. мат. Перпендикуляр к касательной прямой или плоскости, проходящий через точку касания. БАС 1. Нормальная линия, или нормаль. В аналитической геометрии так называется прямая линия, перпендикулярная к… …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • Нормаль — Нормаль  это прямая, ортогональная (перпендикулярная) касательному пространству (касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности и т. д.). Связанные определения …   Википедия

  • НОРМАЛЬ — (от лат. normalis прямой) к кривой линии (поверхности) в данной ее точке прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной прямой (касательной плоскости) в этой точке …   Большой Энциклопедический словарь

  • НОРМАЛЬ — НОРМАЛЬ, нормали, жен. 1. Перпендикуляр к касательной прямой или плоскости, проходящий через точку касания (мат.). 2. Деталь установленного заводом образца (тех.). Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

  • НОРМАЛЬ (в геометрии) — НОРМАЛЬ (от лат. normalis прямой) к кривой линии (поверхности) в данной ее точке, прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной прямой (касательной плоскости) в этой точке …   Энциклопедический словарь

  • нормаль — и; ж. [от лат. normalis прямолинейный] 1. Матем. Перпендикуляр к касательной прямой или плоскости, проходящей через точку касания. 2. Техн. Деталь установленного образца. * * * нормаль I (от лат. normalis  прямой) к кривой линии (поверхности) в… …   Энциклопедический словарь

  • НОРМАЛЬ — к кривой линии (поверхности) в данной ее точке прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной прямой ( касательной плоскости )в этой точке кривой (поверхности). Плоская гладкая кривая имеет в каждой точке единственную Н.,… …   Математическая энциклопедия

  • Нормаль — (франц. normal, от лат. normalis прямой)         к кривой (к поверхности) в данной её точке прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной (См. Касательная) прямой (касательной плоскости (См. Касательная плоскость)) в этой же …   Большая советская энциклопедия

  • НОРМАЛЬ — (франц. normal нормаль, норма, от лат. normalis прямой) 1) Н. в стандарт и з а ц и и устаревшее назв. стандарта. 2) Н. в математике Н. к кривой (поверхности) в данной точке наз. прямую, проходящую через эту точку и перпендикулярную к касат.… …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • Нормаль — Н. в какой либо точке плоской кривой есть прямая линия, перпендикулярная к касательной (см. соотв. статью), проведенной к кривой в этой точке. В какой либо точке кривой двоякой кривизны можно провести плоскость, перпендикулярную к касательной… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

universal_ru_de.academic.ru

нормаль плоскости — с русского на английский

См. также в других словарях:

  • НОРМАЛЬ — (фр.). Перпендикуляр к касательной, проведенной к кривой, в данной точке, нормаль которой отыскивается. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. НОРМАЛЬ перпендикулярная линия к касательной, проведенной к… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • нормаль — и, ж. normale f. <лат. normalis. 1. мат. Перпендикуляр к касательной прямой или плоскости, проходящий через точку касания. БАС 1. Нормальная линия, или нормаль. В аналитической геометрии так называется прямая линия, перпендикулярная к… …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • Нормаль — Нормаль  это прямая, ортогональная (перпендикулярная) касательному пространству (касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности и т. д.). Связанные определения …   Википедия

  • НОРМАЛЬ — (от лат. normalis прямой) к кривой линии (поверхности) в данной ее точке прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной прямой (касательной плоскости) в этой точке …   Большой Энциклопедический словарь

  • НОРМАЛЬ — НОРМАЛЬ, нормали, жен. 1. Перпендикуляр к касательной прямой или плоскости, проходящий через точку касания (мат.). 2. Деталь установленного заводом образца (тех.). Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

  • НОРМАЛЬ (в геометрии) — НОРМАЛЬ (от лат. normalis прямой) к кривой линии (поверхности) в данной ее точке, прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной прямой (касательной плоскости) в этой точке …   Энциклопедический словарь

  • нормаль — и; ж. [от лат. normalis прямолинейный] 1. Матем. Перпендикуляр к касательной прямой или плоскости, проходящей через точку касания. 2. Техн. Деталь установленного образца. * * * нормаль I (от лат. normalis  прямой) к кривой линии (поверхности) в… …   Энциклопедический словарь

  • НОРМАЛЬ — к кривой линии (поверхности) в данной ее точке прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной прямой ( касательной плоскости )в этой точке кривой (поверхности). Плоская гладкая кривая имеет в каждой точке единственную Н.,… …   Математическая энциклопедия

  • Нормаль — (франц. normal, от лат. normalis прямой)         к кривой (к поверхности) в данной её точке прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной (См. Касательная) прямой (касательной плоскости (См. Касательная плоскость)) в этой же …   Большая советская энциклопедия

  • НОРМАЛЬ — (франц. normal нормаль, норма, от лат. normalis прямой) 1) Н. в стандарт и з а ц и и устаревшее назв. стандарта. 2) Н. в математике Н. к кривой (поверхности) в данной точке наз. прямую, проходящую через эту точку и перпендикулярную к касат.… …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • Нормаль — Н. в какой либо точке плоской кривой есть прямая линия, перпендикулярная к касательной (см. соотв. статью), проведенной к кривой в этой точке. В какой либо точке кривой двоякой кривизны можно провести плоскость, перпендикулярную к касательной… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

translate.academic.ru

Поверхность - нормаль - Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Поверхность - нормаль

Cтраница 1

Поверхность нормалей также представляет собой двухполостную самопересекающуюся в четырех точках, поверхность. Проведенные через эти четыре точки две линии, расположенные симметрично относительно главных осей индикатрисы, вдоль которых свет распространяется с единственной фазовой скоростью, являются оптическими осями второго рода.  [1]

Сечения поверхности нормалей плоскостями ху, xz и yz показаны на рис. 17.18. В каждом сечении поверхности нормалей получается круг и эллипс. В двух направлениях О О и О О ( рис. 17.18, б) фазовые скорости обеих волн в кристалле совпадают. Эти направления называются оптическими осями второго рода, или бинормалями.  [3]

Уравнение (114.09) выражает поверхность нормалей к волне. Эта поверхность имеет вид, аналогичный лучевой поверхности, ко в сечениях вместо эллипсов получаются овалы.  [4]

Между лучевой поверхностью и поверхностью нормалей к волне существует простое геометрическое соотношение. Пусть через некоторую точку проходит в направлении п плоская волна.  [5]

Используемое в литературе другое построение - поверхность нормалей ( или поверхность индексов), получающаяся путем откладывания вдоль каждого направления отрезка l / п ( вместо о), - представляется менее удобным.  [6]

Используемое в литературе другое построение - поверхность нормалей ( или поверхность индексов), получающаяся путем откладывания вдоль каждого направления отрезка 1 / п ( вместо п), - представляется менее удобным.  [7]

Для графического нахождения направлений синхронизма необходимо построить поверхности нормали для частот, участвующих в преобразовании, я искать пересечения этих поверхностей.  [8]

С практической точки зрения интерес представляет не столько поверхность нормалей, сколько лучевая поверхность или так называемая поверхность волны. Последняя представляет собой геометрическое место точек, удаленных от центра на расстояние, равное лучевой скорости в данном направлении. В полученных таким образом точках следует искать действительные части волнового фрон та, который на всем своем протяжении представляет собой плоскость, касательную к лучевой поверхности.  [9]

Обратно, огибающая плоскостей, нормальных к лучам, есть поверхность нормалей к волне, Построив к лучевой поверхности касательную плоскость и опустив на нее из начала перпендикуляр, получим направление распространения волн. Заметим, что в точках пересечения лучевой поверхности с оптическими осями существует не одна касательная плоскость, а касательный конус.  [10]

Сечения поверхности нормалей плоскостями ху, xz и yz показаны на рис. 17.18. В каждом сечении поверхности нормалей получается круг и эллипс. В двух направлениях О О и О О ( рис. 17.18, б) фазовые скорости обеих волн в кристалле совпадают. Эти направления называются оптическими осями второго рода, или бинормалями.  [12]

При ознакомлении в § 5 данной главы с так называемой лучевой поверхностью ( а также с поверхностью нормалей) убедимся, что заданному направлению луча соответствуют два направления нормалей, а заданному направлению нормали - два направления лучей с разными скоростями по нормали и по лучу соответственно.  [13]

Если из точки О опустить на такую касательную плоскость перпендикуляр, то снова получится точка, принадлежащая поверхности нормалей.  [14]

Это МОЖНО ПОНЯТЬ с ПОМОЩЬЮ 8.7. Угол фазового рис. 8.7, на котором показаны Пересе - синхронизма Gm в случае чения поверхностей нормалей Мсо) ГЛ Го7 - Тм пе ( 2 ( й, 6) плоскостью, содержащей ось одноосном кристалле, z и направление распространения. От), условие (8.56) удовлетворяется и, следовательно, выполняется условие фазового синхронизма.  [15]

Страницы:      1    2    3

www.ngpedia.ru

Касательная плоскость и нормаль к явно заданной поверхности.

Касательной плоскостью к поверхности в ее точке $M_0$ (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Если уравнение поверхности имеет вид $$F(x,y,z)=0,$$ то уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ есть $$F_x'(x_0, y_0, z_0)(x-x_0)+F_y'(x_0, y_0, z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0, y_0, z_0)(z-z_0)=0.$$

Уравнение нормали $$\frac{x-x_0}{F_x'(x_0, y_0, z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y'(x_0, y_0, z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z'(x_0, y_0, z_0)}.$$

В случае задания поверхности в явной форме $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0),$$ а уравнение нормали $$\frac{x-x_0}{f_x'(x_0, y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y'(x_0, y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}.$$

Примеры:

7.229. а) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $z=\sin x\cos y$ в точке $(\pi/4, \pi/4, \pi/4).$

Решение.

Для поверхности $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0),$$ а уравнение нормали $$\frac{x-x_0}{f_x'(x_0, y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y'(x_0, y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}.$$

Находим частные производные:

$z'_x=(\sin x\cos y)'_x=\cos x\cos y;$

$z'_x(\pi/4, \pi/4)=\cos \frac{\pi}{4}\cos \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt 2}\cdot\frac{1}{\sqrt 2}=\frac{1}{2};$ 

$z'_y=(\sin x\cos y)'_y=-\sin x\sin y;$

$z'_y(\pi/4, \pi/4)=-\sin \frac{\pi}{4}\sin \frac{\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt 2}\cdot\frac{1}{\sqrt 2}=-\frac{1}{2};$

Таким образом, уравнение касательной плоскости: $$z-\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}(x-\frac{\pi}{4})-\frac{1}{2}(y-\frac{\pi}{4})\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}x -\frac{1}{2}y-z+\frac{\pi}{4}=0.$$ 

Уравнение нормали: $$\frac{x-\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{y-\frac{\pi}{4}}{-\frac{1}{2}}=\frac{z-\frac{\pi}{4}}{-1}.$$

Ответ: уравнение касательной плоскости: $\frac{1}{2}x -\frac{1}{2}y-z+\frac{\pi}{4}=0;$ уравнение нормали: $\frac{x-\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{y-\frac{\pi}{4}}{-\frac{1}{2}}=\frac{z-\frac{\pi}{4}}{-1}.$

 

7.232. Для поверхности $z=4x-xy+y^2$ найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости $4x+y+2z+9=0.$

Решение. 

Для поверхности $$z=f(x, y)$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ имеет вид $$z-z_0=f_x'(x_0, y_0)(x-x_0)+f_y'(x_0, y_0)(y-y_0).$$ 

Находим частные производные: 

$z'_x=(4x-xy+y^2)'_x=4-y;$ 

$z'_y=(4x-xy+y^2)'_y=-x+2y;$ 

Отсюда находим уравнение касательной плоскости: $$z-z_0=(4-y_0)(x-x_0)+(-x_0+2y_0)(y-y_0)\Rightarrow$$ $$(4-y_0)(x-x_0)+(-x_0+2y_0)(y-y_0)-z+z_0=0.$$

Найдем точку поверхности $M(x_0, y_0, x_0)$ касательная плоскость к которой будет параллельна плоскости $4x+y+2z+9=0:$

$$\frac{4-y_0}{4}=\frac{-x_0+2y_0}{1}=\frac{-1}{2}\Rightarrow 4-y_0=-2\Rightarrow y_0=6;$$ $$-x_0+12=-\frac{1}{2}\Rightarrow x_0=\frac{25}{2};$$ $$z_0=4\cdot\frac{25}{2}-\frac{25}{2}\cdot 6+6^2=50-75+36=11.$$

Таким образом, уравнение касательной плоскости: $$z-11=(4-6)(x-\frac{25}{2})+(-\frac{25}{2}+2\cdot 6)(y-6)\Rightarrow$$ $$z-11=-2(x-\frac{25}{2})-\frac{1}{2}(y-6)\Rightarrow 2x+\frac{1}{2}y+z-11-25-3=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow4x+y+2z-78=0.$$ 

Ответ: $4x+y+2z-78=0.$

 

7.233. а) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $x(y+z)(xy-z)+8=0$ в точке $(2, 1, 3).$

Решение. 

Для поверхности $$F(x,y,z)=0,$$ уравнение касательной плоскости в точке $M_0(x_0, y_0, z_0)$ есть $$F_x'(x_0, y_0, z_0)(x-x_0)+F_y'(x_0, y_0, z_0)(y-y_0)+F_z'(x_0, y_0, z_0)(z-z_0)=0.$$ 

$F(x, y, z)=x(y+z)(xy-z)+8=x^2y^2-xyz+x^2yz-xz^2+8=0$

Находим частные производные: 

$F'_x=(x^2y^2-xyz+x^2yz-xz^2+8)'_x=2xy^2-yz+2xyz-z^2;$ 

$F'_x(2, 1, 3)=4-3+12-9=4;$ 

$F'_y=(x^2y^2-xyz+x^2yz-xz^2+8)'_y=2x^2y-xz+x^2z;$ 

$F'_y(2, 1, 3)=8-6+12=14;$ 

$F'_z=(x^2y^2-xyz+x^2yz-xz^2+8)'_z=-xy+x^2y-2xz;$ 

$F'_z(2, 1, 3)=-2+4-12=-10.$ 

Отсюда находим уравнение касательной плоскости: $$4(x-2)+14(y-1)-10(z-3)=0\Rightarrow 4x+14y-10z+8.$$ 

Ответ: $2x+7y-5z+4=0.$

 

Домашнее задание.

7.229. б) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $z=e^{x\cos y}$ в точке $(1, \pi/ 1/e).$ 

7.230. Найти расстояние от начала координат до касательной плоскости к поверхности $z=y tg\frac{x}{a}$ в точке $\left(\frac{\pi a}{a, a, a}\right).$

7.233. б) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности $2^{x/z}+2^{y/z}=8$ в точке $(2, 2, 1).$

7.234. Для поверхности $x^2-z^2-2x+6y=4$ найти уравнение нормали, параллельной прямой $\frac{x+2}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{4}.$

 

 

mathportal.net

НОРМАЛЬ - это... Что такое НОРМАЛЬ?

  • НОРМАЛЬ — (фр.). Перпендикуляр к касательной, проведенной к кривой, в данной точке, нормаль которой отыскивается. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. НОРМАЛЬ перпендикулярная линия к касательной, проведенной к… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • нормаль — и, ж. normale f. <лат. normalis. 1. мат. Перпендикуляр к касательной прямой или плоскости, проходящий через точку касания. БАС 1. Нормальная линия, или нормаль. В аналитической геометрии так называется прямая линия, перпендикулярная к… …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

  • нормаль — перпендикуляр. Ant. параллель Словарь русских синонимов. нормаль сущ., кол во синонимов: 3 • бинормаль (1) • …   Словарь синонимов

  • НОРМАЛЬ — (от лат. normalis прямой) к кривой линии (поверхности) в данной ее точке прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной прямой (касательной плоскости) в этой точке …   Большой Энциклопедический словарь

  • НОРМАЛЬ — устаревшее название стандарта …   Большой Энциклопедический словарь

  • НОРМАЛЬ — НОРМАЛЬ, нормали, жен. 1. Перпендикуляр к касательной прямой или плоскости, проходящий через точку касания (мат.). 2. Деталь установленного заводом образца (тех.). Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

  • Нормаль — Нормаль  это прямая, ортогональная (перпендикулярная) касательному пространству (касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности и т. д.). Связанные определения …   Википедия

  • нормаль — нормальный вертикальный стандартный реальный — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы нормальныйвертикальныйстандартныйреальный EN normal …   Справочник технического переводчика

  • нормаль — и; ж. [от лат. normalis прямолинейный] 1. Матем. Перпендикуляр к касательной прямой или плоскости, проходящей через точку касания. 2. Техн. Деталь установленного образца. * * * нормаль I (от лат. normalis  прямой) к кривой линии (поверхности) в… …   Энциклопедический словарь

  • НОРМАЛЬ — (франц. normal нормаль, норма, от лат. normalis прямой) 1) Н. в стандарт и з а ц и и устаревшее назв. стандарта. 2) Н. в математике Н. к кривой (поверхности) в данной точке наз. прямую, проходящую через эту точку и перпендикулярную к касат.… …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • нормаль — normalė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. normal vok. Normale, f rus. нормаль, f pranc. normale, f …   Fizikos terminų žodynas

  • dic.academic.ru