Примеры решения логарифмических уравнений. Логарифмы решить


Логарифмы: примеры и решения

Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (ab*ac = ab+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.

Определение в математике

Логарифмом называется выражение следующего вида: logab=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) "b" по его основанию "a" считается степень "c", в которую необходимо возвести основание "a", чтобы в итоге получить значение "b". Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log28. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.

логарифмы примеры

Разновидности логарифмов

Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное - понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:

  1. Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
  2. Десятичный логарифм lg a, где основанием служит число 10.
  3. Логарифм любого числа b по основанию a>1.

Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.

Правила и некоторые ограничения

В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:

  • основание "a" всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь "1" и "0" в любой степени всегда равны своим значениям;
  • если а > 0, то и аb>0, получается, что и "с" должно быть больше нуля.

Как решать логарифмы?

К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10х= 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, квадратичная степень! 102=100.

А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического. Получим log10100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.

Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:

логарифмы примеры и решения

Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел - это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (ac=b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!

Уравнения и неравенства

Получается, что при определенных условиях показатель степени - это и есть логарифм. Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 34=81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log381 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2-5= 1/32 запишем в виде логарифма, получим log2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема "логарифмы". Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.

как решать логарифмы примеры

Дано выражение следующего вида: log2(x-1) > 3 - оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение "х" находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.

Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример - логарифм2x = √9)подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции. Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.

свойства логарифмов с примерами

Основные теоремы о логарифмах

При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.

  1. Основное тождество выглядит так: аlogaB=B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
  2. Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: logd(s1*s2) = logds1 + logds2. При этом обязательным условием является: d, s1 и s2 > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть logas1 = f1 и logas2 = f2, тогда af1= s1, af2= s2. Получаем, что s1*s2 = af1*af2= af1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: loga(s1*s2)= f1+ f2 = logas1 + logas2, что и требовалось доказать.
  3. Логарифм частного выглядит так: loga(s1/s2) = logas1- logas2.
  4. Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: logaqbn = n/q logab.

Называется эта формула "свойством степени логарифма". Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.

Пусть logab = t, получается at=b. Если возвести обе части в степень m: atn = bn;

но так как atn= (aq)nt/q = bn, следовательно logaqbn = (n*t)/t, тогда logaqbn = n/q logab. Теорема доказана.

Примеры задач и неравенств

Самые распространенные типы задач на тему логарифмов - примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.

примеры десятичных логарифмов

К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.

При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.

Вот примеры десятичных логарифмов: ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства. Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.

 уравнения с логарифмами примеры

Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями

Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.

  1. Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log24 + log2128 = log2(4*128) = log2512. Ответ равен 9.
  2. log48 = log22 23 = 3/2 log22 = 1,5 - как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.

натуральные логарифмы примеры решения

Задания из ЕГЭ

Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания). Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы "Натуральные логарифмы".

Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.

Дано log2(2x-1) = 4. Решение:перепишем выражение, немного его упростив log2(2x-1) = 22, по определению логарифма получим, что 2x-1 = 24, следовательно 2x = 17; x = 8,5.

Ниже даны несколько рекомендаций, следуя которым можно с легкостью решать все уравнения, содержащие выражения, которые стоят под знаком логарифма.

  • Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
  • Все выражение, стоящие под знаком логарифма, указываются как положительные, поэтому при вынесении множителем показателя степени выражения, который стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, остающееся под логарифмом выражение должно быть положительно.

fb.ru

Логарифмы, примеры решений

Теория про логарифмы

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается \lg x:

    \[ \log _{10} x = \lg x \]

а логарифм по основанию e = 2,718281828 ... называют натуральным и обозначают \ln x:

    \[ \log _{e} x = \ln x \]

Примеры

ПРИМЕР 3
Задание Вычислить значение выражения

    \[ \frac{1}{\log _{12} 18} + \frac{1}{\log _{27} 18} \]

Решение Перейдем в каждом из слагаемых к логарифму по основанию 18, используя формулу перехода \log _{a} b = \frac{1}{\log _{b} a} . Получим:

    \[ \frac{1}{\log _{12} 18} + \frac{1}{\log _{27} 18} = \log _{18} 12 + \log _{18} 27 \]

Так как сумма логарифмов равна логарифму произведения, последняя сумма перепишется в виде:

    \[ \frac{1}{\log _{12} 18} + \frac{1}{\log _{27} 18} = \log _{18} 12 + \log _{18} 27 = \log _{18} (12 \cdot 27) = \log _{18} 324 \]

Число 324 можно представить как степень 18, получим

    \[ \frac{1}{\log _{12} 18} + \frac{1}{\log _{27} 18} = \log _{18} 324 = \log _{18} 18^{2} \]

далее выносим степень как коэффициент перед знаком логарифма:

    \[ \frac{1}{\log _{12} 18} + \frac{1}{\log _{27} 18} = \log _{18} 18^{2} = 2 \cdot \log _{18} 18 \]

Учитывая, что \log _{a} a = 1, окончательно будем иметь:

    \[ \frac{1}{\log _{12} 18} + \frac{1}{\log _{27} 18} = 2 \cdot \log _{18} 18 = 2 \cdot 1= 2 \]

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Вычислить \log _{8} 7 \cdot \log _{7} 6 \cdot \log _{6} 4
Решение Перейдем во всех логарифмах к основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию:

    \[ \log _{a} b = \frac{\log _{c} b}{\log _{c} a} \]

получим

    \[ \log _{8} 7 \cdot \log _{7} 6 \cdot \log _{6} 4 = \frac{\log _{2} 7}{\log _{2} 8} \cdot \frac{\log _{2} 6}{\log _{2} 7} \cdot \frac{\log _{2} 4}{\log _{2} 6} = \frac{\log _{2} 4}{\log _{2} 8} \]

Представим 4 и 8 в виде степени двойки и вынесем полученные степени за знак логарифма как коэффициент:

    \[ \log _{8} 7 \cdot \log _{7} 6 \cdot \log _{6} 4 = \frac{\log _{2} 4}{\log _{2} 8} = \frac{\log _{2} 2^{2}}{\log _{2} 2^{3}} = \frac{2 \cdot \log _{2} 2}{3 \cdot \log _{2} 2} = \frac{2}{3} \]

Ответ
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Логарифмические выражения

Логарифмические выражения, решение примеров. В этой статье мы рассмотрим задачи связанные с решением логарифмов. В заданиях ставится вопрос о нахождении значения выражения. Нужно отметить, что понятие логарифма используется во многих заданиях и понимать его смысл крайне важно. Что касается ЕГЭ, то логарифм используется при решении уравнений, в прикладных задачах, также в заданиях связанных с исследованием функций.

Приведём примеры для понимания самого смысла логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов, которые необходимо  всегда помнить:

*Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

* * *

*Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

* * *

*Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

* * *

*Переход к новому основанию

* * *

Ещё свойства:

* * *

Вычисление логарифмов тесно связано с использованием свойств показателей степени.

Перечислим некоторые из них:

Суть данного свойства заключается в том, что при переносе числителя в знаменатель и наоборот, знак показателя степени меняется на противоположный.  Например:

Следствие из данного свойства:

* * *

При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели перемножаются.

* * *

При возведении в степень произведения в эту же степень возводится каждый множитель.

Так же необходимо знать следующее свойство:

Рассмотрим примеры:

*Данный контент (более 20 подробно решённых примеров) доступен только для зарегистрированных пользователей! Вкладка регистрации (входа) находится в ГЛАВНОМ МЕНЮ сайта. После прохождения регистрации войдите на сайт и обновите данную страницу.

Как вы убедились само понятие логарифма несложное. Главное то, что необходима хорошая практика, которая даёт определённый навык. Разумеется знание формул обязательно. Если навык в преобразовании элементарных логарифмов не сформирован, то при решении  простых заданий можно легко допустить ошибку.

Практикуйтесь, решайте сначала простейшие примеры из курса математики, затем переходите к более сложным. В будущем обязательно покажу, как решаются «страшненькие» логарифмы, таких на ЕГЭ не будет, но они представляют интерес, не пропустите!

На этом всё! Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Вычисление логарифма числа онлайн | umath.ru

Онлайн калькулятор логарифмов

Калькулятор вычисляет логарифм числа онлайн. Можно вводить как десятичные дроби (в качестве разделителя для десятичных дробей можно использовать как точку, так и запятую), так и обычные (например, если нужно вычислить логарифм \frac{1}{9}, то в поле «число» можете смело писать 1/9).

Помните, что операция взятия логарифма определена только для положительных чисел, а основание логарифма должно быть положительным и не должно равняться единице.

Что такое логарифм числа?

Примеры

Пример 2. Вычислить \log_4 8.Решение. Воспользуемся следующим свойством логарифмов:

    \[\log_{a^{\alpha}}{b^{\beta}} = \frac{\beta}{\alpha}\log_a{b}.\]

Получаем:

    \[\log_4 8 = \log_{2^2}{2^3} = \frac{3}{2}\log_2 2.\]

Так как \log_2 2 = 1, то \log_4 8 = \frac{3}{2}.

Как видите, всё очень просто!

Логарифм числа a по основанию 10 называют десятичным и обозначают \lg a, а логарифм числа a по основанию e называют натуральным и обозначают \ln a.

Про свойства логарифмов читайте здесь.

umath.ru

Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения.

Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения.

Ранее мы уже познакомились с понятием логарифма. А также рассмотрели основные свойства и примеры решения.

Формулы логарифмов сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства:

Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов.

Примеры решения логарифмов на основании формул.

Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) - это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.

Согласно определения logab = x, что равносильно ax = b, поэтому logaax = x.

Логарифмы, примеры:

log28 = 3, т.к. 23 = 8

log749 = 2, т.к. 72 = 49

log51/5 = -1, т.к. 5-1 = 1/5

Десятичный логарифм - это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.

lg100 = 2

log10100 = 2, т.к. 102 = 100

Натуральный логарифм - также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828... - иррациональное число). Обозначается как ln.

Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.

  • Основное логарифмическое тождествоa logab = b

    Пример.

    82log83 = (82log83)2 = 32 = 9

  • Логарифм произведения равен сумме логарифмов loga (bc) = logab + logac

    Пример.

    log38,1 + log310 = log3 (8,1*10) = log381 = 4

  • Логарифм частного равен разности логарифмовloga (b/c) = logab - logac

    Пример.

    9 log550/9 log52 = 9 log550- log52 = 9 log525 = 9 2 = 81

  • Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

    Показатель степени логарифмируемого числа logab m = mlogab

    Показатель степени основания логарифма loganb =1/n*logab

    loganb m = m/n*logab,

    если m = n, получим loganb n = logab

    Пример.

    log49 = log223 2 = log23

  • Переход к новому основаниюlogab = logcb/logca,

    если c = b, получим logbb = 1

    тогда logab = 1/logba

    Пример.

    log0,83*log31,25 = log0,83*log0,81,25/log0,83 = log0,81,25 = log4/55/4 = -1

Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям. Примеры решения логарифмических уравнений мы более подробно рассмотрим в статье: "Решение логарифмических уравнений. Как решать, на примерах". Не пропустите!

Если у вас остались вопросы по решению, пишите их в комментариях к статье.

Заметка: решили получить образование другого класса обучение за рубежом как вариант развития событий.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

reshit.ru

Логарифмические уравнения, примеры решений

Найдем ОДЗ:

    \[ 2 \cdot 4^{x-2}-1>0 \]

    \[ 4^{x-2}>\frac{1}{2} \]

    \[ 2^{2(x-2)}>2^{-1} \]

    \[ 2x-4>-1 \]

    \[ 2x>3 \]

    \[ x > \frac{3}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } x \in \left( \frac{3}{2}; +\infty \right) \]

Решение логарифмического уравнения \log _{a} f(x) = g(x) имеет вид f(x)=a^{g(x)} . Применяя это к исходному уравнению, получим

    \[ 2 \cdot 4^{x-2}-1=4^{2x-4} \]

    \[ 2 \cdot 4^{x} \cdot 4^{-2} -1=4^{2x} \cdot 4^{-4} \]

Умножим левую и правую части последнего равенства на 4^{4}, получим:

    \[ ( 2 \cdot 4^{x} \cdot 4^{-2} -1) \cdot 4^{4} =4^{2x} \cdot 4^{-4} \cdot 4^{4} \]

    \[ 2 \cdot 4^{x} \cdot 4^{2} - 4^{4} =4^{2x} \]

    \[ 4^{2x} - 32 \cdot 4^{x} + 256=0 \]

Полученное показательное уравнение решим методом замены переменной. Введем замену t=4^{x}>0, тогда уравнение примет вид:

    \[ t^{2}-32t+256=0 \]

Полученное квадратное уравнение можно свернуть по формулам сокращенного умножения в квадрат разности:

    \[ (t-16)^{2} = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } t-16=0 \text{ } \Rightarrow \text{ } t = 16 \]

Сделаем обратную замену 4^{x}=16 \text{ } \Rightarrow \text{ } 4^{x} = 4^{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } x=2 \in ОДЗ.

ru.solverbook.com

Логарифм. Примеры

Логарифмом числа b по основанию a обозначают выражение логарифм. Вычислить логарифм значит найти такой степень x (логарифм, формула),при котором выполняется равенство Показательное уравнение

Основные свойства логарифма

Приведенные свойства необходимо знать, поскольку, на их основе решаются практически все задачи и примеры связаны с логарифмами. Остальные экзотических свойств можно вывести путем математических манипуляций с данными формулами

1. логарифм, свойства2. логарифм единицы3. сумма логарифмов4. разница логарифмов5. логарифм, свойства6. логарифм, прехид к основанию7. логарифм, свойства8. логарифм, свойства9. логарифм, свойства10. логарифм, свойства11. логарифм, свойства12. логарифм, свойства13. логарифм, свойства14. логарифм, свойства15. логарифм, свойства

При вычислениях формулы суммы и разности логарифмов (3,4 ) встречаются довольно часто. Остальные несколько сложные, но в ряде задач являются незаменимыми для упрощения сложных выражений и вычисления их значений.

Распространены случаи логарифмов

Одними из распространенных логарифмов такие в которых основание ровное десять, экспоненте или двойке. Логарифм по основанию десять принято называть десятичным логарифмом и упрощенно обозначать lg(x). десятичный логарифм

Из записи видно, что основы в записи не пишут. Для примера десятичный логарифмдесятичный логарифмдесятичный логарифм

Натуральный логарифм – это логарифм у которого за основу экспонента ( обозначают ln(x)).натуральный логарифм

Экспонента равна 2,718281828…. Чтобы запомнить экспоненту можете изучить правило: экспонента равна 2,7 и два раза год рождения Льва Николаевича Толстого. Зная это правило будете знать и точное значение экспоненты, и дату рождения Льва Толстого.

И еще один важный логарифм по основанию два обозначаютдвоичный логарифм

Производная от логарифм функции равна единице разделенной на переменнуюпроизводная логарифма

Интеграл или первообразная логарифма определяется зависимостьюпервообразная логарифма

Приведенного материала Вам достаточно, чтобы решать широкий класс задач связанных с логарифмами и логарифмирования. Для усвоения материала приведу лишь несколько распространенных примеров из школьной программы и ВУЗов.

Примеры на логарифмы

Прологарифмировать выражения

Пример 1. а). х=10ас^2 (а>0,с>0).

По свойствам 3,5 вычисляем логарифмированиялогарифмирования

2.По свойству разницы логарифмов имеемлогарифмирования

3. Используя свойства 3,5 находимлогарифмирования

4. где .

На вид сложное выражение с использованием ряда правил упрощается к видулогарифм, примерлогарифм, пример

------------------------------------------

Нахождение значений логарифмов

Пример 2. Найти х, есливычисления логарифма

Решение. Для вычисления применим до последнего слагаемого 5 и 13 свойствавычисления логарифма

Подставляем в запись и скорбимзначение логарифма

Поскольку основания равные, то приравниваем выражения логарифмическое уравнение

------------------------------------------

Пример 3. Пусть задано значение логарифмовлогарифм числалогарифм числалогарифм числалогарифм числа

Вычислить log[a](x), если

Решение: Прологарифмируем переменную, чтобы расписать логарифм через сумму слагаемыхнахождение логарифмаотискание логарифмаотискание логарифма

------------------------------------------

На этом знакомство с логарифмами и их свойствами только начинается. Упражняйтесь в вычислениях, обогащайте практические навыки - полученные знания Вам скоро понадобятся для решения логарифмических уравнений. Изучив основные методы решения таких уравнений мы расширим Ваши знания для другой не менее важной теме - логарифмические неравенства ...

yukhym.com