Урок по алгебре в 8-м классе по теме: "Квадратный корень из произведения и дроби". Корень квадратный из дроби


Свойства квадратного корня. Властивості квадратного кореня

Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения
1. Квадратный корень из произведения двух неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей:1. Квадратний корінь з добутку двох невід'ємних множників дорівнює добутку коренів з цих множників:

a≥0, b≥0

2. Квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицательный, а знаменатель положительный, равен корню из числителя, разделенному на корень из знаменателя:2. Квадратний корінь з дробу, чисельник якої ненегативний, а знаменник - позитивний, дорівнює кореню з чисельника, розділеному на корінь із знаменника:

a≥0, b>0

Чтобы извлечь квадратный корень из многочлена, надо вычислить многочлен и из полученного числа извлечь корень.

Внимание! Нельзя извлекать корень из каждого слагаемого (уменьшаемого и вычитаемого) отдельно.

Например:

Щоб витягти квадратний корінь з многочлена, треба обчислити багаточлен і з отриманого числа витягти корінь.

Увага! Не можна витягати корінь з кожного додатку (зменшуваного і від’ємного) окремо.

Наприклад:

Чтобы извлечь квадратный корень из произведения (частного), можно вычислить корень квадратный из каждого множителя (делимого и делителя), а полученные значения взять произведением (частным).

Например:

Щоб витягти квадратний корінь з добутку (частки), можна обчислити корінь квадратний з кожного множника (діленого і дільника), а отримані значення взяти добутком (часткою).

Наприклад:

Чтобы извлечь квадратный корень из дроби, надо извлечь квадратный корень из числителя и знаменателя отдельно, а полученные значения оставить дробью или вычислить как частное (если возможно это по условию).

Например:

Щоб витягти квадратний корінь з дробу, треба витягти квадратний корінь з чисельника і знаменника окремо, а отримані значення залишити дробом або обчислити як частку (якщо можливо це за умовою).

Наприклад:

Из-под знака корня можно вынести множитель и можно внести множитель под знак корня. При вынесении множителя из него извлекается корень, а при внесении - он возводится в соответствующую степень.

Например:

З-під знака кореня можна винести множник і можна внести множник під знак кореня. При винесенні множника з нього витягується корінь, а при внесенні - він зводиться у відповідну ступінь.

Наприклад:

Если корень в знаменателе дроби, то такую дробь можно заменить тождественной ей дробью, не содержащей радикалов (корней) в знаменателе. Для этого умножают числитель и знаменатель дроби на такое выражение (сопряженное знаменателю), чтобы корень в знаменателе извлекался. Якщо корінь в знаменнику дробу, то такий дріб можна замінити тотожним йому дробом, що не містить радикалів (коренів) у знаменнику. Для цього множать чисельник і знаменник дробу на такий вираз (поєднане зі знаменником), щоб корінь в знаменнику видалявся.

Примеры. Приклади

1. Избавиться от радикала в знаменателе дроби:1. Позбутися від радикала в знаменнику дробу:
2. Избавиться от радикала в знаменателе дроби:2. Позбутися від радикала в знаменнику дробу:
3. Избавиться от радикала в числителе дроби:3. Позбутися від радикала в чисельнику дробу:
Освобождение дроби от радикалов в числителе (в знаменателе) дроби называется преобразованием алгебраической дроби. Звільнення дробу від радикалів у чисельнику (в знаменнику) дробу називається перетворенням алгебраїчного дробу.

Чтобы преобразовать сумму (разность) квадратных корней, нужно привести подкоренные выражения к одному основанию степени, если это возможно, извлечь корни из степеней и записать их перед знаками корней, а оставшиеся квадратные корни с одинаковыми подкоренными выражениями можно сложить, для чего складываются коэффициенты перед знаком корня и дописывается тот же квадратный корень.

Пример 4:

Щоб перетворити суму (різницю) квадратних коренів, потрібно привести підкоренні вирази до однієї основи ступеня, якщо це можливо, отримати коріння ступенів і записати їх перед знаками коренів, а решта квадратні корені з однаковими підкореними виразами можна скласти, для чого складаються коефіцієнти перед знаком кореня і дописується той же квадратний корінь.

Приклад 4:

Приведем все подкоренные выражения к основанию 2. 

Из четной степени корень извлекается полностью, из нечетной степени корень основания в степени 1 оставляем под знаком корня. 

Приводим подобные целые числа и коэффициенты складываем с одинаковыми корнями. Запишем двучлен как произведение числа и двучлена суммы.

Пример 5:

Наведемо всі підкорені вирази до основи 2. 

З парного ступеня корінь витягується повністю, з непарного ступеня корінь основи в ступені 1 залишаємо під знаком кореня. 

Наводимо подібні цілі числа і коефіцієнти складаємо з однаковим корінням. Запишемо двочлен як добуток числа і двочлена суми.

Приклад 5:

Приводим подкоренные выражения к наименьшему основанию или произведению степеней с наименьшими основаниями. Из четных степеней подкоренных выражений извлекаем корень, остатки в виде основания степени с показателем 1 или произведением таких оснований оставляем под знаком корня. Приводим подобные члены (складываем коэффициенты одинаковых корней).

Пример 6:

Наводимо підкорені вирази до найменшої основи або добутку ступенів з найменшими основами. З парних ступенів підкорених виразів витягаємо корінь, залишки у вигляді основи ступеня з показником 1 або добутком таких основ залишаємо під знаком кореня. Наводимо подібні члени (складаємо коефіцієнти однакових коренів).

Приклад 6:

Заменим деление дробей на умножение (с заменой второй дроби на обратную). Перемножим отдельно числители и знаменатели дробей. Под каждым знаком корня выделим степени. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Извлечем корни из четных степеней.

Пример 7:

Замінимо ділення дробів на множення (з заміною другого дробу на зворотний). Перемножимо окремо чисельники і знаменники дробів. Під кожним знаком кореня виділимо ступені. Скоротимо однакові множники в чисельнику і знаменнику. Винесемо коріння з парних ступенів.

Приклад 7:

Чтобы сравнить два квадратных корня, их подкоренные выражения надо привести в степени с одинаковым основанием, тогда чем больше показать степени подкоренного выражения, тем больше значение квадратного корня.

В этом примере привести к одному основанию подкоренные выражения нельзя, так как в первом основание 3, а во втором – 3 и 7.

Второй способ сравнения состоит в том, чтобы внести коэффициент корня в подкоренное выражение и сравнить числовые значения подкоренных выражений. У квадратного корня чем больше подкоренное выражение, тем больше значение корня.

Пример 8:

Щоб порівняти два квадратних кореня, їх підкорені вирази треба привести до ступеня з однаковою основою, тоді чим більше показник степеня підкореневого виразу, тим більше значення квадратного кореня.

У цьому прикладі привести до одної основи підкорені вирази не можна, так як в першому основа 3, а у другому - 3 і 7.

Другий спосіб порівняння полягає в тому, щоб внести коефіцієнт кореня в підкореневий вираз і порівняти числові значення підкорених виразів. У квадратного кореня чим більше підкореневий вираз, тим більше значення кореня.

Приклад 8:

Используя распределительный закон умножения и правило умножения корней с одинаковыми показателями (в нашем случае – квадратных корней), получили сумму двух квадратных корней с произведением под знаком корня. Разложим 91 на простые множители и выносим корень за скобки с общими подкоренными множителями (13*5).

Мы получили произведение корня и двучлена, у которого один из одночленов целое число (1).

Пример 9:

Використовуючи розподільний закон множення і правило множення коренів з однаковими показниками (в нашому випадку - квадратних коренів), отримали суму двох квадратних коренів з добутком під знаком кореня. Розкладемо 91 на прості множники і виносимо корінь за дужки із загальними підкореневими множниками (13*5).

Ми отримали добуток кореня і двочлена, у якого один з одночленів ціле число (1). Приклад 9:

В подкоренных выражениях выделим множителями числа, из которых можно извлечь целый квадратный корень. Извлечем квадратные корни из степеней и поставим числа коэффициентами квадратных корней.

У членов данного многочлена есть общий множитель √3, который можно вынести за скобки. Приведем подобные слагаемые.

Пример 10:

У підкореневих виразах виділимо множниками числа, з яких можна отримати цілий квадратний корінь. Винесемо квадратні корені із ступенів і поставимо числа коефіцієнтами квадратних коренів.

У членів даного многочлена є спільний множник √3, який можна винести за дужки. Наводимо подібні доданки.

Приклад 10:

Произведение суммы и разности двух одинаковых оснований (3 и √5) по формуле сокращенного умножения можно записать как разность квадратов оснований.

Корень квадратный в квадрате всегда равен подкоренному выражению, поэтому мы избавимся от радикала (знака корня) в выражении.

Добуток суми і різниці двох однакових основ (3 і √5) з формули скороченого множення можна записати як різницю квадратів основ.

Корінь квадратний у квадраті завжди дорівнює підкореневому виразу, тому ми позбудемося радикала (знака кореня) у виразі.

 Квадратный корень. Квадратний корінь | Описание курса | Таблица степеней натуральных чисел 

   

profmeter.com.ua

Извлечение корня квадратного

Ученики всегда спрашивают: «Почему нельзя пользоваться калькулятором на экзамене по математике? Как извлечь корень квадратный из числа без калькулятора?» Попробуем ответить на этот вопрос.

Как же извлечь корень квадратный из числа без помощи калькулятора?

Действие извлечения корня квадратного обратно действию возведения в квадрат.

√81= 9     92 =81

Если из положительного числа извлечь корень квадратный и результат возвести в квадрат, получим то же число.

Из небольших чисел, являющихся точными квадратами натуральных чисел, например 1, 4, 9, 16, 25, …,100 квадратные корни можно извлечь устно. Обычно в школе учат таблицу квадратов натуральных чисел до двадцати. Зная эту таблицу легко извлечь корни квадратные из чисел 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Из чисел больших 400 можно извлекать методом подбора используя, некоторые подсказки. Давайте попробуем на примере рассмотреть этот метод.

Пример: Извлечь корень из числа 676.

Замечаем, что 202 = 400, а 302 = 900, значит 20 < √676 < 900.

Точные квадраты натуральных чисел оканчиваются цифрами 0; 1; 4; 5; 6; 9. Цифру 6 дают 42 и 62. Значит, если из 676 извлекается корень, то это либо 24, либо 26.

Осталось проверить: 242 = 576, 262 = 676.

Ответ: √676 = 26.

Еще пример: √6889.

Так как 802 = 6400, а 902 = 8100, то 80 < √6889 < 90. Цифру 9 дают 32 и 72, то √6889 равен либо 83, либо 87.

Проверяем: 832 = 6889.

Ответ: √6889 = 83.

Если затрудняетесь решать методом подбора, то можно подкоренное выражение разложить на множители.

Например, найти √893025.

Разложим число 893025 на множители, вспомните, вы делали это в шестом классе.

Получаем: √893025 = √36 ∙52 ∙72 = 33 ∙5 ∙7 = 945.

Еще пример: √20736. Разложим число 20736 на множители:

Получаем √20736 = √28 ∙34 = 24 ∙32 = 144.

Конечно, разложение на множители требует знания признаков делимости и навыков разложения на множители.

И, наконец, есть же правило извлечение корней квадратных. Давайте познакомимся с этим правилом на примерах.

Вычислите √279841.

Чтобы извлечь корень из многоцифрового целого числа, разбиваем его справа налево на грани, содержащие по 2 цифры (в левой крайней грани может оказаться и одна цифра). Записываем так 27’98’41

Чтобы получить первую цифру корня (5), извлекаем квадратный корень из наибольшего точного квадрата, содержащегося в первой слева грани (27). Потом вычитают из первой грани квадрат первой цифры корня (25) и к разности приписывают (сносят) следующую грань (98). Слева от полученного числа 298 пишут удвоенную цифру корня (10), делят на нее число всех десятков раннее полученного числа (29/2 ≈ 2), испытывают частное (102 ∙2 = 204 должно быть не больше 298) и записывают (2) после первой цифры корня. Потом вычитают от 298 полученное частное 204 и к разности (94) приписывают (сносят) следующую грань (41). Слева от полученного числа 9441 пишут удвоенное произведение цифр корня (52 ∙2 = 104), делят на это произведение число всех десятков числа 9441 (944/104 ≈ 9), испытывают частное (1049 ∙9 = 9441) должно быть 9441 и записывают его (9) после второй цифры корня.            

Получили ответ √279841 = 529.

Аналогично извлекают корни из десятичных дробей. Только подкоренное число надо разбивать на грани так, чтобы запятая была между гранями.

Пример. Найдите значение √0,00956484.

Только надо помнить, что если десятичная дробь имеет нечетное число десятичных знаков, из нее точно квадратный корень не извлекается.

Итак, теперь вы познакомились с тремя способами извлечения корня. Выбирайте тот, который вам больше подходит и практикуйтесь. Чтобы научиться решать задачи, их надо решать. А если у Вас возникнут вопросы, записывайтесь на мои уроки.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Квадратный корень из произведения и дроби

Для начала давайте вспомним определение арифметического квадратного корня. Итак, арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Пример 1:

Пример 2:

Следует обратить внимание, что

Заметим, что

Видно, что квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел.

Этим свойством обладает квадратный корень из произведения любых двух неотрицательных чисел.

Чтобы извлечь квадратный корень из произведения неотрицательных чисел, можно извлечь его из каждого сомножителя отдельно и результаты перемножить.

Следует заметить, что это свойство распространяется и на тот случай, когда подкоренное выражение представляет собой произведение трёх, четырёх и т.д. неотрицательных множителей.

Например:

Корень из неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Верно и обратное утверждение: произведение корней из неотрицательных чисел равно корню из произведения этих чисел.

Задание: вычислите значение выражения.

Решение:

Рассмотрим теперь арифметический квадратный корень из дроби.

Пример 1:  

Видим, что квадратный корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя.

Этим свойством обладает квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицательное число, а знаменатель положителен.

Чтобы извлечь квадратный корень из дроби, можно извлечь корень отдельно из числителя и знаменателя и первый результат разделить на второй.

Вывод: корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.

Верно и обратное утверждение: частное корней равно корню из частного этих чисел.

Выполнить задание: вычислите значение выражения.

Решение:

Итоги:

Корень из неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.

videouroki.net

Квадратный корень из произведения и дроби: правила и примеры

 

Квадратным корнем из числа a называют такое число, квадрат которого равен a.  Например, числа -5 и 5 являются квадратными корнями из числа 25. То есть, корни уравнения x^2=25, являются квадратными корнями из числа 25. Теперь необходимо научиться работать с операцией извлечения квадратного корня: изучить его основные свойства.

Квадратный корень из произведения

√(a*b) =√a*√b

Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел, равен произведению квадратных корней из этих чисел. Например, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Важно понимать, что это свойство распространяется и на тот случай, когда подкоренное выражение представляет собой произведение трех, четырех и т.д. неотрицательных множителей.

Иногда встречается и другая формулировка этого свойства. Если a и b есть неотрицательные числа, то справедливо следующее равенство √(a*b) =√a*√b. Разницы между ними нет абсолютно никакой, можно использовать как одну, так и другую формулировку(кому какую удобнее запомнить).

Квадратный корень из дроби

Если a>=0 и b>0, то справедливо следующее равенство:

√(a/b) =√a/√b.

Например, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

У этого свойства тоже существует другая формулировка, на мой взгляд, более удобная для запоминания. Квадратный корень частного равен частному от корней.

Стоит отметить, что эти формулы работают как слева направо, так и справа налево. То есть при необходимости, мы можем произведение корней представить как корень из произведения. Тоже самое касается и второго свойства.

Как вы могли заметить, эти свойства очень удобны, и хотелось бы иметь такие же свойства для сложения и вычитания:

√(a+b) =√a+√b;

√(a-b) =√a-√b;

Но к сожалению таких свойств квадратные корни не имеют, и поэтому так делать при вычислениях нельзя.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Функция y=√x: график и свойства Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspКвадратный корень из степени: правила и примеры

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Квадратный корень из произведения и дроби

МБОУ СОШ №1 с. Кизляр

Учитель Магометова Хадижат Назиевна

Алгебра 8 «а» класс

Тема урока : «Квадратный корень из произведения и дроби». П.16.

Цель урока:

Образовательные:

1. Изучить основные свойства квадратных корней (теоремы о квадратном корне из произведения и дроби),

2. Научить применять их для преобразования выражений, содержащих квадратные корни,

Воспитательная:

Воспитывать внимательность, аккуратность, настойчивость.

Развивающие:

1. Развитие умений ставить цель, планировать и регулировать свою деятельность через решения заданий, преодолевать трудности.

2. Развитие логического мышления, памяти, внимательности.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование: ПК, проектор, доска, карточки, презентация

Ход урока:

Этапы урока (задачи)

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1.Организационный момент

Здравствуйте! Прежде чем перейти к новой теме давайте обобщим и систематизируем теоретически и практически знания об арифметическом квадратном корне,

-приветствуют учителя.

2. Актуализация знаний учащихся

1. Сформулируйте определение арифметического квадратного корня.

2. При каких значениях а выражение имеет смысл.

3. Чему равен ()2

4. Выполните тест (слайд №1) Перед вами сигнальные карточки, решив задание, покажите соответствующий номер.

Квадратные корни широко используются во многих областях: в геометрии, в физике. Приведите примеры.

5. Решите задачу №1 (слайд №2)

6. Решите задачу №2. (слайд №3) (При решении сталкиваются с проблемой)

Оказывается, в ответе должно получится натуральное число, но чтобы его получить, нам необходимы новые знания. Как вы думаете, какие же именно?

Отвечают на поставленные вопросы.

Сигнализируют, обосновывают свой ответ

Нахождение стороны квадрата, радиуса круга.

Предлагают способ решения задачи №2, площадь можно найти только приближенно с помощью калькулятора

Может, есть какое-нибудь свойство, позволяющее найти значения произведения корней?

3. Простановка цели урока

Итак, нам необходимо выяснить какими же свойствами обладают квадратные корни. Для этого выполните следующее задание (слайд №4)

Мы видим, что результаты в обоих случаях получились равные. Кокой вывод можно сделать?

Сконструируем модель полученных равенств с помощью геометрических фигур.

Дадим название полученным равенствам, сформулируем тему нашего урока и запишем ее в тетрадях.

Запишем теперь свойства с помощью букв, учитывая при этом какие значения могут принимать подкоренные выражения. (Слайд №5)

Можем мы по одному примеру сделать вывод об истинности этого свойства?

Какую цель урока можно поставить перед собой?

Итак, цель урока: сформулировать и доказать свойства квадратных корней из произведения и дроби, научиться применять их для преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

Учащиеся работают по группам.

Учащиеся записывают вывод в тетрадь.

Изображают схемы в тетрадях, а двое учеников на доске, используя готовые геометрические фигуры и магниты.

Дают название и формулируют тему.

Двое (по желанию) записывают свойства на доске, остальные в тетрадях.

Нет. Необходимо доказать, что это равенство верно при всех допустимых значениях a и b

Предлагают цели урока

4. Изучение нового материала

Попробуйте сформулировать свойства арифметического квадратного корня. (слайд №5)

Изучите доказательство 1свойства по учебнику. Какие нам известные свойства используются при доказательстве теоремы?

Рассмотрите примеры вычисления квадратных корней из произведения и дроби (слайд №6)

Формулируют и сравнивают со свойством в учебнике.

Свойства возведения произведения в степень, возведение в квадрат корня.

Решают совместно с учителем

5. Первичное закрепление и осмысление нового материала

А сейчас вы должны научиться применять свойства квадратного корня. Выполните №369, 370 из учебника.

А теперь запишем обратные тождества, поменяв местами обе части . Попробуйте сформулировать полученные свойства. (Слайд №7)

Вернемся теперь к задаче №2. Можем мы теперь ее решить? (слайд 3 )

Выполните № 385, 386 (а,б,в)

Решают №369, 370 (а,в,д), все вместе, проговаривают вслух решения, (б,г,е) самостоятельно. (Проверку осуществляет учитель совместно с сильными учащимися)

Произведение корней из неотрицательных множителей равно корню из произведения этих множителей. Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.

Да, (см2 ) площадь квадрата, а его сторона равна

6.Контроль знаний учащихся

А сейчас выясним, как вы усвоили новую тему. Выполните самостоятельную работу. Слайд №8

Выполняют и оценивают

7. Домашнее задание

П.16 доказать теорему2 (для сильных учащихся), № 371, 385(г-з), 386(г,д)

7. Рефлексия

– Какие свойства мы сегодня изучили?

– В чём испытали затруднение?

– Над чем необходимо ещё поработать?

Квадратный корень из произведения и дроби

videouroki.net

"Квадратный корень из произведения и дроби"

Разделы: Математика

1-й урок

Цели урока:

  • Образовательные:
    • изучить основные свойства квадратных корней,
    • сформировать умение применять их для преобразования выражений, содержащих квадратные корни,
    • научить вычислять значения квадратных корней.
  • Воспитательная:
    • воспитывать внимательность, аккуратность, настойчивость.
  • Развивающие:
    • развитие памяти,
    • развитие умений преодолевать трудности,
    • развитие навыков работы с учебником, справочными материалами.

Тип урока: комбинированный.

Формы и методы работы:

  • фронтальный (устный счет),
  • индивидуальная работа с дифференциацией (карточки, дидактический материал),
  • эвристический.

Оборудование урока:

  • таблица,
  • карточки (4 варианта),
  • дидактический материал,
  • учебник (справочный материал на форзаце учебника).

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Сообщение цели урока и плана урока. (Изучить два свойства арифметического квадратного корня и научиться применять их для преобразования выражений, содержащих квадратный корень.)

II. Проверка домашнего задания

– У кого были затруднения при выполнении № 344? – Что было не понятно? (стр. 76, рис. 14) – Как сравнить два выражения в № 350?

III. Устный счет

–  Представьте следующие выражения 9,25а4, b6, 64а2, 81x4 в виде квадрата. – В виде каких двух множителей можно представить числа 12, 49, 50, 72, 810?

IV. Повторение

– Что называется арифметическим квадратным корнем из числа а? (Неотрицательное число, квадрат которого равен а.) – Каким свойством арифметического квадратного корня вы пользовались? – Вычислите:

V. Новый материал

– Найдите значения выражений и ; и – Сравните ответы. Какой вывод вы можете сделать? (Корень из произведения равен произведению корней где ) – Примените это свойство при вычислении .

VI. Закрепление

№ 357

a) ; b) ; c) ; d)  ; e) ; f)

№ 360

a) ; b) ; с) ; ...

VII. Самостоятельная работа по карточкам (4 варианта)

VIII. Итог урока

– Какое свойство мы с вами изучили? (Корень из произведения равен произведению корней.)

IX. Домашнее задание будет задано на втором уроке.

2-й урок

Цели урока:

  • Закрепить знания о свойстве корня из произведения.
  • Изучить еще одно свойство арифметического квадратного корня.

ХОД УРОКА

I. Сообщение результатов самостоятельной работы

II. Закрепление

– Для того чтобы применить свойство корня из произведения, необходимо дополнительное преобразование.

№ 362

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) .

№ 372

– Примените свойство “слева направо”, т.е. , где

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) .

III. Устная работа

– Вычислите: – Сравните значения выражений и и . – Какой вывод можно сделать? (Корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.) – Запишите в буквенном виде: где

IV. Закрепление

№ 358

a) b) c) d) e) f) g) h)

№ 373

– Примените свойство “слева направо” где

a) b) c) d) e)

V. Самостоятельная работа с ответами (4 варианта и дидактические материалы сильным ученикам)

VI. Самопроверка (ответы на доске)

VII. Домашнее задание: § 6, пункт 15, свойства со страниц 80–81,  № 361,  № 359,  № 369 (по желанию, но постараться), № 380 (вспомнить о степенях к следующему уроку).

VIII. Итог урока

– Как найти корень из произведения? (Корень из произведения равен произведению корней.) – Как найти корень из дроби? (Корень из чисел разделить на корень из знаменателя.) – Может ли в знаменателе быть ноль? (Нет, на ноль делить нельзя.) – Как найти корень из смешанной дроби? (Перевести в неправильную дробь и применить свойство арифметического квадратного корня.)

Выставление оценок в дневники.

– Урок окончен. Спасибо. До свидания.

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Квадратный корень из произведения и дроби. 8-й класс

Разделы: Математика

Тип урока: повторение и систематизация знаний

Цели:

  • Образовательные:
    • изучить способы преобразования выражений, содержащих разность квадратов под знаком корня;
    • ознакомиться со свойствами квадратного корня из произведения и дроби.
  • Развивающие:
    • развивать умения учащихся решать задачи с использованием свойств квадратного корня из произведения и дроби;
    • совершенствовать практические умения для преобразования выражений, содержащих квадратные корни; переноса знаний в новую ситуацию;
    • развивать умения учащихся анализировать, сравнивать, обобщать.
  • Воспитательные:
    • воспитывать такие качества личности, как способность к самоанализу, доброжелательность;
    • способствовать эстетическому воспитанию школьников.

ХОД УРОКА:

I. Организационный момент

II. Мотивация

Сегодняшний урок я хотела бы начать со слов  Фридриха Адольфа Вильгельма Дистервега  — немецкого педагога, прогрессивного либерального политика, который выступал за секуляризацию школ.

 «Не в количестве знаний  заключается образование, но в полном понимании и искусном применении всего того, что знаешь».

Сегодня нам предстоит проверить, как мы понимаем и искусно применяем наши знания, полученные по теме: «Квадратный корень из произведения и дроби»

Мотивация: Ребята, знания, полученные по этой теме, помогут вам в дальнейшем изучении математики, а именно при изучении темы  « Преобразования выражений, содержащих квадратные корни». Сегодня мы обобщим, и проанализировать наши знания и умения по плану:

  1. Вспомним формулы, с помощью которых можно найти квадратный корень из произведения и дроби.
  2. Устно решим несколько заданий на применение этих формул.
  3. Работа с учебником.
  4. Напишем самостоятельную работу.
  5. Вы самостоятельно проведете самоанализ: «Как вы знаете и применяете материал по данной теме.

III. Актуализация знаний

I.

1. Чему равен квадратный корень из произведения? – Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей:

а > 0, b > 0, = ·

2. Чему равно произведение квадратных корней? – Произведение квадратных корней равно квадратному корню из произведения:

· =

3. Чему равен квадратный корень из дроби?

– Корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя:а > 0, b > 0,  =

4. Чему равно частное квадратных корней?

– Частное квадратных корней равно квадратному корню из дроби:

=

II. Верно ли равенство:

1.  = – 10              (нет) 2.  2· = 2.4        (нет) 3.   –  = – 0,5        (да) 4.  = – 4               (нет) 5.  = 660         (да)

III.  Вместо треугольника написать число, чтобы получилось верное     равенство:

1. = 2.  = 3 ?  = 30 3.  = 4. = = 40 5.  = = 2

IV. Примените формулу разности квадратов а2– b2 = (а – b)(а + b) для вычисления следующих числовых выражений:

а) 52 – 32 = (5 – 3)(5 + 3) = 2 • 8 = 16 б) 2,52 – 1,52 = (2,5 – 1,5)(2,5 + 1,5) = 1 • 4 = 4 в) 2 – 2 = = • 1=

V. Как бы вы стали вычислять значение следующего выражения?

– ?

Учащиеся предлагают два способа:

I способ:   = = =7 II способ:    = = = 7

Какое решение более рациональное?

III. Закрепление: № 364(а, в, д), № 470(а, в)

IV. Самостоятельная работа

Критерии:     

«5» – 9-11 баллов; «4» – 6-8 баллов; «3» – 3-5 баллов.

Резервное задание для обеспечения занятости и развития наиболее подготовленных учащихся.

Задание на смекалку:  Используя 6 раз число  и знаки действия, получить число 6.

Решение:

(= 6 (3+=6 9 – 3 = 6 6 = 6

V.  Итог урока

VI. Домашнее задание: № 364(в, г, е), №469(в), №470(б)

VII. Рефлексия

Согласно словам Дистервега: «Не в количестве знаний  заключается образование, но в полном понимании и искусном применении всего того, что знаешь», проведите самоанализ, ответив на вопросы на бланке. Как я знаю и применяю материал по теме: «Квадратный корень из произведения и дроби»:

а) на отлично; б) хорошо; в) удовлетворительно; г) совсем не знаю и не могу применять.

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai