Как найти в равнобедренном треугольнике косинус угла. Как найти синус равнобедренного треугольника


Равнобедренный треугольник. Вычисление длин, углов. Синус угла

Продолжаем разбор Заданий №6 ЕГЭ по математике.

Если вы научились находить значения синусов,

косинусов, тангенсов углов в прямоугольном треугольнике (статьи 1 и 2 ), то задачи, которые мы сегодня будем разбирать, не покажутся вам сложными.

Можете заглянуть и сюда, чтобы вспомнить свойства равнобедренного треугольника.

 

В категорию «Задания №6» входят  также задачи следующих типов + показать

Задача 1.

В треугольнике ABC . Внешний угол при вершине B равен . Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 2.

В треугольнике ABC угол A равен  , угол C равен На продолжении стороны AB отложен отрезок   Найдите угол D треугольника BCD. Ответ дайте в градусах.

Решение: + показать

Задача 3.

В треугольнике ABC   Найдите

Решение: + показать

Задача 4.

В треугольнике  Найдите

Решение: + показать

Задача 5.

В треугольнике ABC  , AH  — высота,   Найдите

Решение: + показать

Задача 6.

 В треугольнике     – высота,  Найдите

Решение: + показать

Задача 7.

В треугольнике   высота Найдите синус угла

Решение: + показать

, так как треугольник равнобедренный.

Из треугольника

Ответ: 0,4. 

Задача 8.

В треугольнике   угол  равен . Найдите высоту .

Решение: + показать

Задача 9.

В треугольнике ABC  Найдите синус внешнего угла при вершине A.

Решение: + показать

Задача 10.

В треугольнике   угол  равен    Найдите .

 

Решение: + показать

Если мы проведем медиану , то она будет и высотой, и биссектрисой для треугольника

По определению синуса для угла имеем:

Значит

Ответ: 6. 

Устали? Хотите немного посмеяться? + показать

* * *

Сын “нового русского” говорит отцу:

– Папа, ты мне обещал, что если я получу “пять”, то ты мне дашь 11 долларов. Вчера я получил “два”, а сегодня “три”, – итого – “пять”.

– Хорошо, говорит отец, –  на тебе один доллар и еще один – итого одиннадцать. Учись дальше, сынок.

Остальное тут.

 

 

Вы можете пройти тест по теме «Равнобедренный треугольник. Вычисление  углов  и длин».

 

 

 

egemaximum.ru

Как найти синус угла в равнобедренном треугольнике

Равнобедренным треугольником называется выпуклая геометрическая фигура из трех вершин и трех соединяющих их отрезков, два из которых имеют одинаковую длину. А синус - это тригонометрическая функция, которую можно использовать для численного выражения зависимости между соотношением длин сторон и величинами углов во всех треугольниках, включая и равнобедренные.

Инструкция

  • Если из исходных данных известна величина хотя бы одного угла (α) в равнобедренном треугольнике, это позволит найти и два других (β и γ), а значит и синус любого из них. Исходите из теоремы о сумме углов, которая утверждает, что в треугольнике она обязательно должна быть равна 180°. Если угол известной величины лежит между боковыми сторонами, величина каждого из двух других равна половине разности между 180° и известным углом. Значит, вы можете использовать в расчетах такое тождество: sin(β) = sin(γ) = sin((180°-α)/2). Если же известный угол примыкает к основанию треугольника, это тождество распадется на два равенства: sin(β) = sin(α) и sin(γ) = sin(180°-2*α).
  • Зная радиус (R) окружности, описанной около такого треугольника, и длину любой из сторон (например, а) можно не прибегая к вычислению тригонометрических функций рассчитать синус угла (α), лежащего напротив этой стороны. Используйте для этого теорему синусов - из нее вытекает, что нужная вам величина равна половине соотношения между длиной стороны и радиусом: sin(α) = ½*R/a.
  • Известные площадь (S) и длина боковой стороны (а) равнобедренного треугольника позволят рассчитать синус угла (β), лежащего напротив основания фигуры. Для этого удвойте площадь и поделите результат на возведенную в квадрат длину боковой стороны: sin(β) = 2*S/a². Если кроме длины боковой стороны известна и длина основания (b), квадрат можно заменить произведением длин этих двух сторон: sin(β) = 2*S/(a*b).
  • Если известны длины боковой стороны (а) и основания (b) равнобедренного треугольника, для вычисления синуса угла при основании (α) можно задействовать даже теорему косинусов. Из нее вытекает, что косинус этого угла равен половине отношения длины основания к длине боковой стороны: cos(α) = ½*b/a. Синус и косинус связаны таким равенством: sin²(α) = 1-cos²(α). Поэтому для вычисления синуса извлеките квадратный корень из разницы между единицей и четвертью соотношения квадратов длин основания и боковой стороны: sin(α) = √(1-cos2(α)) = √(1-¼*b²/а²).

completerepair.ru

Как найти в равнобедренном треугольнике косинус угла

УСЛОВИЕ: в треугольнике abc известно,что ab=bc, угол abc=148 °. Найдите угол bca. Ответ дайте в °ах. РЕШЕНИЕ ОТ MargaritaPyrkina: (угол BAC)+(угол BCA)=180–148=32 °а. Треугольник АВС равнобедренный, значит (угол BAC)=(углу BCA)=32/2=16 °. Ответ 16. ВОПРОСЫ ПО РЕШЕНИЮ? НАШЛИ.

Совет 1: Как найти синус угла в равнобедренном треугольнике

    Как найти синус угла в равнобедренном треугольнике Как вычислить основание равнобедренного треугольника Как найти боковую сторону равнобедренного треугольника, если дано основание
    рассчитать синус

Совет 2: Как найти высоту в равнобедренном треугольнике

По теореме Пифагора (AB^2) = (BE^2)+(AE^2). Тогда (BE^2) = sqrt((AB^2)-(AE^2)). Так как AE одновременно и медиана треугольника ABC, то BE = BC/2. Следовательно, (BE^2) = sqrt((AB^2)-((BC^2)/4)).

Если задан угол при основании ABC, то из прямоугольного треугольника высота AE равна AE = AB/sin(ABC). Угол BAE = BAC/2, так как AE — биссектриса треугольника. Отсюда, AE = AB/cos(BAC/2).

Пусть S — площадь этого треугольника. Сторону AC, на которую опущена высота, можно обозначить за b. Тогда из формулы площади треугольника будет находиться длина высоту BK: BK = 2S/b.

    высоты равнобедренного треугольника

Совет 3: Как найти угол в равнобедренном треугольнике

    Стороны равнобедренного треугольника, один из углов, радиус описанной вокруг треугольника окружности.

Β = π — 2*π. π — это константа, ее размер принято считать равной 3.14.

Совет 4: Как найти длину стороны в равнобедренном треугольнике

    как вычислить сторону равнобедренного треугольника

Совет 5: Что такое синус

Совет 6: Как найти синус угла между векторами

Совет 7: Как найти длину высоты в равнобедренном треугольнике

Как найти в равнобедренном треугольнике косинус угла

Равнобедренные треугольники

Равнобедренный треугольник — это такой треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми. Третья сторона называется основанием.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

3. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

4. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

5. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые.

6. В равнобедренном треугольнике:

— биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны;

— высоты, проведенные из вершин при основании, равны;

— медианы, проведенные из вершин при основании, равны.

7. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане, проведенных к основанию.

8. Вписанная окружность точкой касания делит основание пополам.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

$∠BCD$ — внешний угол треугольника $АВС$.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$.

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. Котангенсом ($ctg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$cos BOA= — cos BOC;$

$ctg BOA= — ctg BOC.$

В треугольнике $ABC$ $AB=BC, AH$ — высота, $AC=34, cos ∠BAC=0.15$. Найдите $CH$.

Так как треугольник $АВС$ равнобедренный, то $∠A=∠С$ (как углы при основании)

Косинусы равных углов равны, следовательно, $cos∠BAC=cos∠ВСА=0.15$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $АНС$.

Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Распишем косинус $∠НСА$ (он же $∠ВСА$) по определению:

Из последнего равенства найдем $НС$, для этого $0.15$ представим в виде обыкновенной дроби и воспользуемся свойством пропорции:

Если на сторонах $ВС, АВ$ и продолжении стороны $АС$ треугольника $АВС$ за точку $С$ отмечены соответственно $А_1,С_1,В_1$, лежащие на одной прямой, то

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

$/=/=/=2R$, где $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.

В треугольнике $АВС$ $ВС=16, sin∠A=/$. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника $АВС$.

Воспользуемся теоремой синусов:

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности

Далее подставим числовые данные и найдем $R$

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Твой план подготовки к ЕГЭ 2018 почти готов

Всего за 3 минуты

«Такой подход способен увлечь не только школьников: корреспонденты РБК несколько часов сражались со старшеклассниками — по русскому языку и литературе им удавалось побеждать, в физике и математике школьники обычно оказывались успешнее.»

«В некоторых исследованиях геймификация помогала увеличить вовлеченность в образовательный контент на 50%, а результаты учащихся — на 40%.»

«И это все не праздные развлечения: Экзамер использует Big Data и методы машинного обучения для постоянной адаптации и персонализации плана подготовки каждого ученика.»

Как найти в равнобедренном треугольнике косинус угла

В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен 7/25.определите синус и косинус угла при основании

Ответы и объяснения

Нужен Δ, образованный высотой, проведённой к основанию и боковой стороной. Теперь при вершине этого Δ угол = а/2. Найдём Cosa/2

Нужна формула Cosa = 2Cos²a/2 -1 (формула косинуса двойного угла)

2Cos²a/2 = 7/25 +1=32/25

Теперь надо искать угол при основании. он = (90 — а/2) . Найдём синус и косинус этого угла.

Б)Cos (90 — a/2) = Sin a/2 Ищем по основному тригонометрическому тождеству.Sin a/2 = √(1 — 16/25) =√9/25 = 3/5

poiskvstavropole.ru

Синус в треугольнике | Треугольники

Что такое синус в треугольнике? Как найти синус острого угла в прямоугольном треугольнике?

Определение.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

   Например,

для угла A треугольника ABC

противолежащий катет — это BC.

Соответственно, синус угла A в треугольнике ABC — это

   

 

 

   Для угла B треугольника ABC

противолежащим является катет AC.

Соответственно,  синус угла B в треугольнике ABC

равен отношению AC к AB:

   

Таким образом, синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это некоторое число, получаемое в результате деления длины противолежащего катета на длину гипотенузы. Длины отрезков выражаются положительными числами, поэтому синус угла треугольника также является положительным числом.

Поскольку длина катета всегда меньше длины гипотенузы, то синус острого угла прямоугольного треугольника — число, меньшее единицы.

Вывод:

Синус любого острого угла прямоугольного треугольника больше нуля, но меньше единицы:

   

Синус угла треугольника зависит не от длин сторон треугольника, а от отношения этих длин.

Например,

1) В треугольнике ABC катет BC=3 см, а гипотенуза AB=5 см.

Тогда

   

2) В треугольнике ABC катет BC=21 дм, гипотенуза AB=35 дм.

Тогда

   

 

Длины сторон треугольника изменилось, но отношения длин остались прежними, поэтому и значение синуса угла A не изменилось.

Угол A в обоих треугольниках одинаков.

www.treugolniki.ru

как найти основание равнобедренного треугольника

Основанием равнобедренного треугольника является та из его сторон, длина которой отличается от двух других, равных между собой, сторон.Рассмотрим варианты того, как найти основание равнобедренного треугольника.

1-й способ. Использование теоремы синусов.Согласно теореме синусов стороны треугольника являются прямо пропорциональными величинами к значению синусов противоположных углов:

   

Из этого равенства можно выразить любую искомую сторону через другую сторону и синусы двух углов.Рассмотрим пример того, как найти основание равнобедренного треугольника, используя теорему синусов.

Пример 1.У равнобедренного треугольника боковые стороны равны 17 см, а угол при основании равен 30 градусов. Найдем основание данного треугольника.

Решение.Используем теорему о сумме углов треугольника:

   

Подставим в теорему синусов известные значения и получим:

   

   

   

Воспользуемся формулой приведения для синуса 120 градусов, согласно которой получим:

   

   

Подставим полученное значение в формулу для вычисления длины основания: (см).

2-й способ. Использование теоремы косинусов.Согласно теореме косинусов квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов остальных двух сторон и минус произведение этих сторон на косинус угла между ними умноженное на 2:

   

ru.solverbook.com

Равнобедренный треугольник

Определение равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором длины двух его сторон равны между собой.

Примечание. Из определения равнобедренного треугольника следует, что правильный треугольник также является равнобедренным. Однако, необходимо помнить, что обратное утверждение - неверно.

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства, приведенные ниже, используются при решении задач. Поскольку они широко известны, то подразумевается, что они не нуждаются в пояснении. Поэтому в текстах задач ссылка на них опущена.
  • Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой.
  • Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из углов, противолежащих равным сторонам треугольника, равны между собой.
  • Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают между собой.
  • Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане (они совпадают) проведенных к основанию.
  • Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые.

Стороны в равнобедренном треугольнике могут быть вычислены с помощью формул, выражающих их длину через другие стороны и углы, величина которых известна.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна частному от деления основания на двойной косинус угла при основании (Формула 1). Данное тождество может быть получено путем несложных преобразований из теоремы косинусов.

Основание равнобедренного треугольника равно произведению боковой стороны на квадратный корень из удвоенной разности единицы и косинуса угла при вершине (Формула 2)

Основание равнобедренного треугольника равно удвоенному произведению боковой стороны на синус половины угла при вершине. (Формула 3)

Основание равнобедренного треугольника равно удвоенному произведению боковой стороны на косинус угла при его основании (Формула 4).

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник

      Обозначения в формулах, можно посмотреть на рисунке выше.

Радиус вписанной окружности для равнобедренного треугольника можно найти, исходя из величин основания и каждой стороны. (Формула 1)

Радиус вписанной окружности для равнобедренного треугольника можно определить,исходя из величин основания  и высоты, проведенной к этому основанию (Формула 2)

Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности можно также вычислить через длину боковой стороны и высоту, проведенную к основанию треугольника (Формула 3)

Знание величины угла между боковыми сторонами и длины основания также позволяет определить радиус вписанной окружности (Формула 4)

Аналогичная формула (5) позволяет определить радиус вписанной окружности через боковые стороны и угол между ними

Признаки равнобедренного треугольника

Треугольник, у которого присутствуют перечисленные ниже признаки, является равнобедренным.
  • Два угла треугольника равны
  • Высота совпадает с медианой
  • Высота совпадает с биссектрисой
  • Биссектриса совпадает с медианой
  • Две высоты равны
  • Две медианы равны
  • Две биссектрисы равны

Площадь равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника находится по следующим формулам:

,  где a - длина одной из двух равных сторон треугольника b - длина основания α - величина одного из двух равных углов при основании

β - величина угла между равными сторонами треугольника и противолежащего его основанию.

См. также "Площадь треугольника".

Содержание главы:  Медіана прямокутного трикутника | Описание курса | Равнобедренный треугольник 

   

profmeter.com.ua

Как найти стороны равнобедренного треугольника если известно его основание (оно равно 6) ?

По основному свойству треугольника (сумма углов любого треугольника равна 180 градусов) определяем третий угол. Он равен 180 - (45 + 45) = 90 градусов. Треугольник прямоугольный. Известная сторона лежит против прямого угла - это гипотенуза. Длины двух других сторон - катетов. Каждый катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего угла, т.е. по 6*sqrt(2)/2 = 3sqrt(2). Задача решена - стороны найдены. В общем случае тут следует использовать теорему синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Это помогает и в случае, если треугольник не является ни прямоугольным, ни равнобедренным (если известны только сторона и два прилежащих к ней угла).

При углах 45 град= это уже равноБЕДРЕННЫЙ треугольник.. . у которого верхний угол= 90 градусов... т. е. -ПРЯМОугольный... и РАВНОбедренный....

вопрос неполный. В условиях должнен присутствовать ещё один параметр-высота либо угол-иначе задача нерешаема

touch.otvet.mail.ru