2. Исследование функции на четность и нечетность. Исследование на четность и нечетность


2. Исследование функции на четность и нечетность.

Функция называется четной (нечетной), если для любогои выполняется равенство

.

График четной функции симметричен относительно оси .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 6.2. Исследовать на четность или нечетность функции

1) ; 2); 3).

Решение.

1) Функция определена при . Найдем.

, т.е. . Значит, данная функция является четной.

2) Функция определена при

, т.е. . Таким образом, данная функция нечетная.

3) функция определена для , т.е. для

, . Поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. Назовем ее функцией общего вида.

3. Исследование функции на монотонность.

Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором интервале, если в этом интервале каждому большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

Функции возрастающие (убывающие) на некотором интервале называются монотонными.

Если функция дифференцируема на интервалеи имеет положительную (отрицательную) производную, то функциявозрастает (убывает) на этом интервале.

Пример 6.3. Найти интервалы монотонности функций

1) ; 3).

Решение.

1) Данная функция определена на всей числовой оси. Найдем производную .

Производная равна нулю, если и. Область определения – числовая ось, разбивается точками,на интервалы. Определим знак производной в каждом интервале.

В интервале производная отрицательна, функция на этом интервале убывает.

В интервале производная положительна, следовательно, функция на этом интервале возрастает.

2) Данная функция определена, если или

.

Определяем знак квадратного трехчлена в каждом интервале.

Таким образом, область определения функции

.

Найдем производную ,, если, т.е., но. Определим знак производной в интервалах.

В интервале производная отрицательна, следовательно, функция убывает на интервале. В интервалепроизводная положительна, функция возрастает на интервале.

4. Исследование функции на экстремум.

Точка называется точкой максимума (минимума) функции, если существует такая окрестность точки, что для всехиз этой окрестности выполняется неравенство.

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Если функция в точкеимеет экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю или не существует (необходимое условие существования экстремума).

Точки, в которых производная равна нулю или не существует называются критическими.

5. Достаточные условия существования экстремума.

Правило 1. Если при переходе (слева направо) через критическую точку производнаяменяет знак с «+» на «–», то в точкефункцияимеет максимум; если с «–» на «+», то минимум; еслине меняет знак, то экстремума нет.

Правило 2. Пусть в точке первая производная функцииравна нулю, а вторая производная существует и отлична от нуля. Если, то– точка максимума, если, то– точка минимума функции.

Пример 6.4. Исследовать на максимум и минимум функции:

1) ; 2); 3);

4) .

Решение.

1) Функция определена и непрерывна на интервале .

Найдем производную и решим уравнение, т.е..Отсюда– критические точки.

Определим знак производной в интервалах ,.

При переходе через точки ипроизводная меняет знак с «–» на «+», поэтому по правилу 1– точки минимума.

При переходе через точку производная меняет знак с «+» на «–», поэтому– точка максимума.

, .

2) Функция определена и непрерывна в интервале . Найдем производную.

Решив уравнение , найдеми– критические точки. Если знаменатель, т.е., то производная не существует. Итак,– третья критическая точка. Определим знак производной в интервалах.

Следовательно, функция имеет минимум в точке , максимум в точкахи.

.

3) Функция определена и непрерывна, если , т.е. при.

Найдем производную

.

Найдем критические точки:

Окрестности точек не принадлежат области определения, поэтому они не являются т. экстремума. Итак, исследуем критические точкии.

.

4) Функция определена и непрерывна на интервале . Используем правило 2. Найдем производную.

Найдем критические точки:

Найдем вторую производную и определим ее знак в точках

.

В точках функция имеет минимум.

.

В точках функция имеет максимум.

studfiles.net

Чётность и нечётность функций

Привет всем посетителям! Сегодня рассматриваем вопрос четности и нечетности функций.

Правило:

Если f({-x})=f(x), то функция четная.

Если f({-x})=-f(x), то функция нечетная.

При этом важно, чтобы область определения функции была бы симметричной относительно оси ординат, а при наличии в ней выколотых точек или интервалов они также должны располагаться симметрично.

Алгоритм исследования:

Установить, симметрична ли область определения функции. Если это так, то  найти f({-x}) и сравнить с f(x)

Если f({-x})=f(x) то функция — четная.Если f({-x})=-f(x), то функция нечетная.

Функция совсем не обязана быть четной или нечетной, она может быть «никакой», несмотря на то, что область определения симметрична.

 

Примеры:

1. Определить, является ли четной функция: f(x)=x^4-6x^2+3.

Область определения этой функции – все действительные числа, то есть она симметрична. Теперь подставим вместо x – (-x) и посмотрим, что получится:

f({-x})=({-x})^4-6({-x})^2+3= x^4-6x^2+3 =f(x) – функция четна.

Надо отметить, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, она для него словно зеркало. Поэтому графики таких функций можно строить в правой полуплоскости, а в левую просто отражать.

Верно и следующее:  если функция задана графиком, который симметричен относительно оси ординат, то она четная.

 

2. Определить, является ли четной функция: f(x)=sqrt{x^2+x+1}-sqrt{1-x+x^2}.

Область определения этой функции может быть найдена из системы неравенств:

Оба неравенства всегда соблюдаются, так как дискриминант обоих трехчленов всегда меньше 0, и ветви парабол направлены вверх – таким образом, мы установили, что область определения симметрична – это вся числовая ось.Теперь подставим вместо x – (-x): f({-x})=sqrt{({-x})^2-x+1}-sqrt{1+x+({-x})^2}= sqrt{x^2-x+1}-sqrt{1+x+x^2} =-( sqrt{x^2+x+1}-sqrt{1-x+x^2})=-f(x) – данная функция нечетна.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат, то есть каждой его точке соответствует точка, получить которую можно поворотом на 180 градусов относительно начала координат. Поэтому графики таких функций можно строить в правой полуплоскости, а изображение в левой полуплоскости получить, повернув картинку на 180 градусов.

Верно и следующее:  если функция задана графиком, который симметричен относительно начала координат, то она нечетная.

 

3. Определить, является ли четной функция: f(x)=lg{{x+1}/{1-x}}.

Область определения может быть найдена из системы неравенств:

Таким образом, область определения симметрична,  и не содержит выколотые точки (1) и (-1).

Подставляем (-х) вместо х:

f({-x})=lg{{-x+1}/{1+x}}=lg{{1-x}/{1+x}} – исходную функцию не получили, а получили совсем другую – значит, исходная функция не является ни четной, ни нечетной (что и подтверждает график). Мы убедились, что симметрия области определения еще не означает, что функция четная или же нечетная.

 

4. Определить, является ли четной функция: f(x)={x^4+1}/{3x^3}.

 

Область определения – вся числовая ось, кроме 0 – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

f(x)={(-x)^4+1}/{-3x^3}=-{x^4+1}/{3x^3}=-f(x) – функция нечетна.

5. Определить, является ли четной функция: f(x)=2/{delim{|}{x}{|}-3}+2.

Область определения – вся числовая ось, кроме точек 3 и (-3) – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

f({-x})=2/{delim{|}{-x}{|}-3}+2=2/{delim{|}{x}{|}-3}+2 =f(x) – функция четная.

 

6. Определить, является ли четной функция: f(x)=sqrt{delim{|}{x}{|}}-4.

 

Область определения – вся числовая ось – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

f({-x})= sqrt{delim{|}{-x}{|}}-4= sqrt{delim{|}{x}{|}}-4=f(x) – функция четная.

 

7. Определить, является ли четной функция: f(x)=x^3-sin x.

Область определения – вся числовая ось, кроме 0 – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

f({-x})=-x^3-sin ({-x})= -x^3+sin x=-f(x) – функция нечетная.

Кроме того, здесь мы имеем дело с суммой двух функций.

Правило:

Сумма двух нечётных функций  –  нечётна.

Сумма двух чётных функций  –  чётна.

А вот сумма двух функций разной четности – как правило, ни четна, ни нечетна.

Определим четность этих функций по отдельности.

f({-x})=({-x})^3= -x^3=-f(x) – функция нечетная.

f({-x})=-sin ({-x})= sin x=-f(x) – функция нечетная.

 

8. Исследуем теперь такую функцию:

 

f(x)=sin x+ tg x

Одна из них нечётна – это мы только что показали, а вторая?

Область определения функции f(x)= tg x симметрична, функция нечётна, так как tg ({-x})=-tg x. Тогда по правилу сложение двух нечетных функций даст функцию нечетную.

 

9. Наконец, последняя:

f(x)=(1-x^2)cos x – имеем произведение двух функций.

Правило:

Произведение или частное  двух нечётных функций чётно.

Произведение или частное двух чётных функций чётно.

Произведение или частное нечётной и чётной функций нечётно.

 

Так как обе функции являются чётными, то и их произведение чётно.

Проверим?

Область определения – вся числовая ось. Производим подстановку:

f({-x})=(1-({-x})^2)cos (-x)=(1-x^2)cos x=f(x) – функция четная.

 

 

 

 

 

 

 

easy-physic.ru

Исследование функций на четность

На этом уроке мы подробно рассмотрим исследование функции на четность. Вначале вспомним определения четных и нечетных функций и их важное свойство – симметричность. Далее сформулируем алгоритм исследования функции на четность и покажем применение этого алгоритма для решения конкретных задач.

Тема: Числовые функции

Урок: Исследование функций на четность

 

В этом уроке мы напомним определения и свойства четных и нечетных функций, сформулируем алгоритм исследования функций на четность, и покажем пример использования алгоритма для решения конкретных задач.

Напоминание:

Функция  называется четной, если для любого  

График четной функции симметричен относительно оси y. Верно и обратное – если график функции симметричен относительно оси y, то функция четная.

Функция  называется нечетной, если для любого  

График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Верно и обратное – если график функции симметричен относительно начала координат, то функция нечетна.

Приведенные факты сформулируем более кратко и проиллюстрируем на графике.

 

1.(Рис).

2.(Рис. 2).

Этими опорными фактами мы будем пользоваться при определении четности функции.

Рассмотрим конкретные примеры.

Исследовать функцию на четность:

1.

Решение:

(Рис. 3).

Область определения состоит из всех действительных чисел, кроме нуля. Область определения симметрична относительно нуля.

 

Ответ: Функция четная.

2. .

Решение:

(Рис. 4).

 несимметрична относительно нуля, значит это функция общего вида.

Ответ: Функция общего вида.

3.

Решение:

 область определения симметрична относительно нуля.

 

Ответ: Функция нечетная.

4.

Решение:  (Рис. 5).

Область определения симметрична относительно нуля.

 

Ответ: Функция нечетная.

5.

Решение:

Область определения симметрична относительно нуля (Рис. 5).

 

Ответ: Функция четная.

6.

Решение:  Область определения симметрична относительно нуля.

 

 

Мы видим, что для :

 

 

Функция не является ни четной, ни нечетной, значит, это функция общего вида

Ответ: Функция общего вида.

7..

Решение:  (Рис. 6).

Область определения несимметрична относительно нуля.

Ответ: Функция общего вида.

8.

Решение:

Построим график функции (Рис. 7).

График симметричен относительно оси y, функция четная.

Эту же функцию можно задать как

Ответ: Функция четная.

9. Постройте график функции  и прочитайте его, если

 

Решение: Построим график функции (Рис. 8).

График симметричен относительно оси y, функция четная.

Функция возрастает при

Функция убывает при

Мы вспомнили определения четной и нечетной функций, их свойства, сформулировали алгоритм исследования функции на четность и показали применение этого алгоритма для конкретных задач. На следующем уроке мы перейдем к исследованию степенных функций.

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 280–282, 295.

mirror.vsibiri.info

Четные и нечетные функции

Четные функции

Определение 1

Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть четной, если для всех точек из множества $X$ будет выполняться

\[f\left(x\right)=f(-x)\]

Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будет совпадать, то график этих функции будет подчиняться закону осевой симметрии по отношению к оси ординат (рис. 1).

Рисунок 1.

Для исследования функции на четность необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $-x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить условие определения 1.

Нечетные функции

Определение 2

Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть нечетной, если для всех точек из множества $X$ будет выполняться

\[f\left(-x\right)=-f(x)\]

Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будут также совпадать по модулю и отрицательны по знакам, то график этих функции будет подчиняться закону центральной симметрии по отношению к началу координат (рис. 2).

Рисунок 2.

Для исследования функции на нечетность необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $-x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить условие определения 2.

Функция общего вида

Определение 3

Функцию $y=f(x)$, которая имеет своей областью определения множество $X$, будем называть функцией общего вида, если она не будет ни четной, ни нечетной.

Для того чтобы понять, что данная функция является функцией общего вида, необходимо в его аналитической записи заменить переменную $x$ на переменную $--x$, произвести, при необходимости элементарные преобразования, и проверить невыполнение условий определений 1 и 2.

Функция общего вида никогда не будет симметрична оси ординат и началу координат. Пример функции общего вида изображен на рисунке 3.

Рисунок 3.

Пример задачи

Пример 1

Исследовать функцию на четность и нечетность и построить их графики.

а) $f(x)=x^2+3$

б) $f(x)=\frac{x^2+4}{x}$

в) $f\left(x\right)=sinx+cosx$

Решение.

а) $f(x)=x^2+3$

$f\left(-x\right)={(-x)}^2+3=x^2+3=f(x)$\textit{ }следовательно, $f(x)$ -- четная функция.

Изобразим её на графике:

Рисунок 4.

б) $f(x)=\frac{x^2+4}{x}$

$f\left(-x\right)=\frac{{\left(-x\right)}^2+4}{-x}=-\frac{x^2+4}{x}$ следовательно, $f(x)$ -- нечетная функция.

Изобразим её на графике:

Рисунок 5.

в) $f\left(x\right)=sinx+cosx$

$f\left(-x\right)={\sin \left(-x\right)\ }+{\cos \left(-x\right)\ }=cosx-sinx$ следовательно, $f\left(x\right)$ -- функция общего вида.

Изобразим её на графике:

Рисунок 6.

spravochnick.ru

Исследование функций на четность. Нравственное воспитание

Дополнительные сочинения

На этом уроке мы подробно рассмотрим исследование функции на четность. Вначале вспомним определения четных и нечетных функций и их важное свойство – симметричность. Далее сформулируем алгоритм исследования функции на четность и покажем применение этого алгоритма для решения конкретных задач.

Тема: Числовые функции

Урок: Исследование функций на четность

1. Тема урока, введение

В этом уроке мы напомним определения и свойства четных и нечетных функций, сформулируем алгоритм исследования функций на четность, и покажем пример использования алгоритма для решения конкретных задач.

2. Напоминание

Напоминание:

Функция называется четной, если для любого

График четной функции симметричен относительно оси y. Верно и обратное – если график функции симметричен относительно оси y, то функция четная.

Функция называется нечетной, если для любого

График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Верно и обратное – если график функции симметричен относительно начала координат, то функция нечетна.

Приведенные факты сформулируем более кратко и проиллюстрируем на графике.

1.(Рис).

2.(Рис. 2).

Этими опорными фактами мы будем пользоваться при определении четности функции.

3. Алгоритм исследования функции на четность

Из приведенных определений и свойств вытекает

Алгоритм исследования функции на четность.

1. Исследовать на симметричность относительно нуля Если не симметрична относительно нуля, это функция общего вида.

2. Найти

3. Сравнить

- если то функция четная;

- если то функция нечетная;

- если хотя бы для одного

то это функция общего вида.

4. Решение примеров

Рассмотрим конкретные примеры.

Исследовать функцию на четность:

1.

Решение:

(Рис. 3).

Область определения состоит из всех действительных чисел, кроме нуля. Область определения симметрична относительно нуля.

Ответ: Функция четная.

2. .

Решение:

(Рис. 4).

несимметрична относительно нуля, значит это функция общего вида.

Ответ: Функция общего вида.

3.

Решение:

область определения симметрична относительно нуля.

Ответ: Функция нечетная.

4.

Решение: (Рис. 5).

Область определения симметрична относительно нуля.

       

Ответ: Функция нечетная.

5.

Решение:

Область определения симметрична относительно нуля (Рис. 5).

Ответ: Функция четная.

6.

Решение: Область определения симметрична относительно нуля.

Мы видим, что для :

Функция не является ни четной, ни нечетной, значит, это функция общего вида

Ответ: Функция общего вида.

7..

Решение: (Рис. 6).

Область определения несимметрична относительно нуля.

Ответ: Функция общего вида.

8.

Решение:

Построим график функции (Рис. 7).

График симметричен относительно оси y, функция четная.

Эту же функцию можно задать как

Ответ: Функция четная.

9. Постройте график функции и прочитайте его, если

Решение: Построим график функции (Рис. 8).

График симметричен относительно оси y, функция четная.

Функция возрастает при

Функция убывает при

5. Заключение

Мы вспомнили определения четной и нечетной функций, их свойства, сформулировали алгоритм исследования функции на четность и показали применение этого алгоритма для конкретных задач. На следующем уроке мы перейдем к исследованию степенных функций.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College. ru по математике .

2. Интернет-проект «Задачи» .

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» .

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 280–282, 295.

dp-adilet.kz

«Исследование функции на четность»

«Исследование функции на четность»

Цель:

  1. Повторить определение функции. Ввести понятие симметричного множества, определения четной и нечетной функции. Рассмотреть свойства графиков четных и нечетных функций.
  2. Развивать у обучающихся навыки исследования функции на четность и нечетность, построения графиков четных и нечетных функций.
  3. Воспитывать у обучающихся коммуникативные умения, культуру устной и письменной речи, точность и аккуратность при построении графиков функций.
Ход урока:
  1. Подготовка обучающихся к усвоению новых знаний.
Учитель: Здравствуйте. (Слайд №1)

Учитель: Часто от математиков можно услышать шутливое утверждение о том, что алгебра держится на четырех китах: уравнение, число, тождество, функция. Какому из этих, так называемых, китов мы отдадим предпочтение сегодня на уроке?

^ функция.

Учитель: Чтобы вспомнить определение функции, я предлагаю вам выполнить следующее задание: «Вставить пропущенные слова в указанное математическое утверждение» (Слайд №2)

Определение: Если даны числовое множество Х и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определенное число у, то говорят, что задана функция у = f(х) с областью определения Х. При этом переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной.

^ каждому, независимой, зависимой. Проверка ( Слайд №3)

Учитель: Верно. Много можно говорить о способах задания функций, об их графиках, но давайте поговорим о свойствах функций. Обратите внимание на приведенные свойства функций и выберите то, которое вам еще не знакомо. (Слайд №4)

^ нам еще незнакомо свойство четности и нечетности функций.

Учитель: Правильно, об этом свойстве и пойдет речь сегодня на уроке, тема которого «Исследование функции на четность». Запишите число и тему сегодняшнего урока. Попробуйте, исходя из темы урока, определить его цель.

^ (варианты формирования цели урока обучающимися)

Учитель: Если обобщить все сказанное вами, то цель урока может быть определена следующим образом. (Слайд №5)

«Повторить определение числовой функции. Ввести определения четной и нечетной функций, определение симметричного числового множества, рассмотреть свойства графиков четных и нечетных функций. Развивать навыки исследования функции на четность и нечетность, навыки построения графиков четных и нечетных функций.»

Учитель: Исходя из цели урока, очевидно, что материал, предлагаемый нам для изучения, довольно обширен, поэтому я предлагаю, не просто изучить новое для нас свойство функции, но и выполнить при этом краткие оформление изученного в виде опорного конспекта. Каждый из вас получил специальный бланк для его оформления.

  1. ^
Учитель: Пришло время узнать определения четной и нечетной функции, для этого я попрошу вас обратиться к теоретическому материалу, помещенному в учебнике на страницах 97 - 98. И выполнить следующее задание по вариантам. (Слайд №6)

1 вариант:

1. Изучите определение четной функции. (Устно)

2. Докажите, что функция у = х4 является четной. (Письменно)

2 вариант

  1. Изучите определение нечетной функции. (Устно)
  2. Докажите, что функция у= х3 является нечетной. (Письменно)
(Все присутствующие на открытом уроке, по желанию, также получают задание, аналогичное тому, которое выполняют обучающиеся класса)

На эту работу отводится 5 минут.

Учитель: А теперь, пожалуйста, поделитесь со своими соседями полученными знаниями и заполните первый блок опорного конспекта. (Работа обучающихся в парах).

Учитель: Не все числовые функции являются четными или нечетными. Обратившись к теоретическому материалу на странице 98, приведите пример функции, которая не является ни четной и ни нечетной. Объясните почему. (Ответ обучающего у доски, по желанию) (Слайд №7)

Учитель: Давайте обобщим полученные знания, ответив на вопрос: «Что, обычно, называют исследованием функции на четность?»

^ изучение вопроса о том, является ли заданная функция четной или нечетной, обычно называют исследованием функции на четность.

Учитель: Обратимся еще раз к определениям четной и нечетной функций. Что можно сказать про числа, которые входят в их область определения? (Слайд №8)

^ в область определения четной и нечетной функций входят противоположные числа.

Учитель: В математике числовое множество, которое вместе с каждым своим элементом, содержит и противоположный ему элемент, называют симметричным множеством. Глядя на определение симметричного множества, укажите из двух групп, заданных числовыми промежутками, ту которая, на ваш взгляд, будет состоять из только из симметричных множеств.

Можно ли назвать область определения четной и нечетной функций симметричным множеством? Ответ обоснуйте.

^ Область определения четной и нечетной функции можно назвать симметричным множеством, так как в нее входят противоположные числа.

Учитель: А теперь заполните второй блок опорного конспекта полученными знаниями.

Учитель: (Слайд №9)

1)На рисунках представлены две пары точек на координатной плоскости, попробуйте определить, какая пара точек принадлежит графику четной функции, а какая нечетной.

2)Что можно сказать о симметричности точек А и В на рисунках1 и 2?

3) Какой вывод можно сделать о графиках четной и нечетной функций?

^

  1. График четной функции симметричен относительно оси ординат.
  2. График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Учитель: Это свойство графиков четных и нечетных функций помогает по виду графика функции исследовать функцию на четность. (Слайд №10)
  1. Укажите номера графиков четных функций.
  2. Укажите номера графиков нечетных функций.
  3. Укажите номер графика функции. Которая не является ни четной и ни нечетной.
Учитель: А теперь я предлагаю выполнить №285

(Слайд №11)

Проверим результаты выполнения.

(Слайд №12)

Учитель: Заполните заключительный третий блок опорного конспекта.

Учитель: Задание на дом:

§ 10

1 уровень: №280 №283

2 уровень №281 №291

3 уровень №294 №301 №302

Творческое.

Учитель: Объединившись в группы по четыре человека, изучите опорные конспекты всех членов группы и оцените каждый из них попятибальной шкале. Затем выберите опорный конспект, который, на ваш взгляд наиболее удачно отражает материал урока, для презентации классу.

Презентация опорных конспектов.

Учитель: Спасибо за работу на уроке, ребята!

Название:_____________________________________________________________________________________________________________

ФИ_________________________________________________

litcey.ru

Исследовать функцию на четность и нечетность y=(x-5)^2 -...

1Запишите функцию, исследование над которой необходимо провести, в виде y=y(x).2Замените аргумент функции на "-х". Подставьте этот аргумент в функциональное выражение.3Упростите выражение.4Таким образом, вы получили одну и ту же функцию, записанную для аргументов "х" и "-х". Посмотрите на две эти записи.Если y(-x)=y(x), то это четная функция.Если y(-x)=-y(x), то это нечетная функция.Если же про функцию нельзя сказать, что y(-x)=y(x) или y(-x)=-y(x), то по свойству четности это функция общего вида. То есть, она не является ни четной, ни нечетной.5Запишите сделанные вами выводы. Теперь вы можете их использовать в построении графика функции или же в дальнейшем аналитическом исследовании свойств функции.6Говорить о четности и нечетности функции можно также и в том случае, когда уже задан график функции. Например, график послужил результатом физического эксперимента.Если график функции симметричен относительно оси ординат, то y(x) - четная функция.Если график функции симметричен относительно оси абсцисс, то x(y) - четная функция. x(y) - функция, обратная функции y(x).Если график функции симметричен относительно начала координат (0,0), то y(x) - нечетная функция. Нечетной будет также обратная функция x(y).7Важно помнить, что понятие о четности и нечетности функции имеет прямую связь с областью определения функции. Если, например, четная либо нечетная функция не существует при х=5, то она не существует и при х=-5, чего нельзя сказать про функцию общего вида. При установлении четности и нечетности обращайте внимание на область определения функции.8Исследование функции на четность и нечетность коррелирует с нахождением множества значений функции. Для нахождения множества значений четной функции достаточно рассмотреть половину функции, правее либо левее нуля. Если при x>0 четная функция y(x) принимает значения от А до В, то те же значения она будет принимать и при xДля нахождения множества значений, принимаемых нечетной функцией, тоже достаточно рассмотреть только одну часть функции. Если при x>0 нечетная функция y(x) принимает диапазон значений от А до В, то при x

Оцени ответ

nebotan.com