Что такое экстремумы функции: критические точки максимума и минимума. Что такое точка минимума функции


Как найти точки минимума и максимума функции: особенности, способы и примеры

Функция и исследование ее особенностей занимает одно из ключевых глав в современной математике. Главная составляющая любой функции - это графики, изображающие не только ее свойства, но также и параметры производной данной функции. Давайте разберемся в этой непростой теме. Итак, как лучше искать точки максимума и минимума функции?

Функция: определение

Любая переменная, которая каким-то образом зависит от значений другой величины, может называться функцией. Например, функция f(x2) является квадратичной и определяет значения для всего множества х. Допустим, что х = 9, тогда значение нашей функции будет равно 92= 81.

Функции бывают самых разных видов: логические, векторные, логарифмические, тригонометрические, числовые и другие. Их изучением занимались такие выдающиеся умы, как Лакруа, Лагранж, Лейбниц и Бернулли. Их труды служат оплотом в современных способах изучения функций. Перед тем как найти точки минимума, очень важно понять сам смысл функции и ее производной.

Производная и ее роль

Все функции находятся в зависимости от их переменных величин, а это значит, что они могут в любой момент изменить свое значение. На графике это будет изображаться как кривая, которая то опускается, то поднимается по оси ординат (это все множество чисел "y" по вертикали графика). Так вот определение точки максимума и минимума функции как раз связано с этими "колебаниями". Объясним, в чем эта взаимосвязь.

Производная любой функции изображается на графике с целью изучить ее основные характеристики и вычислить, как быстро изменяется функция (т.е. меняет свое значение в зависимости от переменной "x"). В тот момент, когда функция увеличивается, график ее производной будет также возрастать, но в любую секунду функция может начать уменьшаться, и тогда график производной будет убывать. Те точки, в которых производная переходит со знака минуса на плюс, называются точками минимума. Для того чтобы знать, как найти точки минимума, следует лучше разобраться с понятием производной.

Как вычислять производную?

Определение и вычисление производной функции подразумевает под собой несколько понятий из дифференциального исчисления. Вообще, само определение производной можно выразить следующим образом: это та величина, которая показывает скорость изменения функции.

Математический способ ее определения для многих учеников кажется сложным, однако на самом деле все гораздо проще. Необходимо лишь следовать стандартному плану нахождения производной любой функции. Ниже описано, как можно найти точку минимума функции, не применяя правила дифференцирования и не заучивая таблицу производных.

  1. Вычислить производную функции можно с помощью графика. Для этого необходимо изобразить саму функцию, затем взять на ней одну точку (точка А на рис.) Вертикально вниз провести линию к оси абсцисс (точка х0), а в точке А провести касательную к графику функции. Ось абсцисс и касательная образуют некий угол а. Для вычисления значения того, насколько быстро возрастает функция, необходимо вычислить тангенс этого угла а.
  2. Получается, что тангенс угла между касательной и направлением оси х является производной функции на маленьком участке с точкой А. Данный метод считается геометрическим способом определения производной.

Способы исследования функции

В школьной программе математики возможно нахождение точки минимума функции двумя способами. Первый метод с помощью графика мы уже разобрали, а как же определить численное значение производной? Для этого потребуется выучить несколько формул, которые описывают свойства производной и помогают преобразовать переменные величины типа "х" в числа. Следующий метод является универсальным, поэтому его можно применять практически ко всем видам функций (как к геометрическим, так и логарифмическим).

  1. Необходимо приравнять функцию к функции производной, а затем упростить выражение, используя правила дифференцирования.
  2. В некоторых случаях, когда дана функция, в которой переменная "х" стоит в делителе, необходимо определить область допустимых значений, исключив из нее точку "0" (по простой причине того, что в математике ни в коем случае нельзя делить на ноль).
  3. После этого следует преобразовать изначальный вид функции в простое уравнение, приравняв все выражение к нулю. Например, если функция выглядела так: f(x) = 2x3+38x, то по правилам дифференцирования ее производная равна f'(x) = 3x2+1. Тогда преобразуем это выражение в уравнение следующего вида: 3x2+1 = 0.
  4. После решения уравнения и нахождения точек "х", следует изобразить их на оси абсцисс и определить, является ли производная в этих участках между отмеченными точками положительной или отрицательной. После обозначения станет ясно, в какой точке функция начинает убывать, то есть меняет знак с минуса на противоположный. Именно таким способом можно найти как точки минимума, так и максимума.

Правила дифференцирования

Самая основная составляющая в изучении функции и ее производной - это знание правил дифференцирования. Только с их помощью можно преобразовывать громоздкие выражения и большие сложные функции. Давайте ознакомимся с ними, их достаточно много, но все они весьма просты благодаря закономерным свойствам как степенных, так и логарифмических функций.

  1. Производная любой константы равна нулю (f(х) = 0). То есть производная f(х) = x5+ х - 160 примет такой вид: f' (х) = 5x4+1.
  2. Производная суммы двух слагаемых: (f+w)' = f'w + fw'.
  3. Производная логарифмической функции: (logad)' = d/ln a*d. Эта формула применима ко всем видам логарифмов.
  4. Производная степени: (xn)'= n*xn-1. Например,(9x2)' = 9*2x = 18x.
  5. Производная синусоидальной функции: (sin a)' = cos a. Если sin угла а равен 0,5, то ее производная равна √3/2.

Точки экстремума

Мы уже разобрали, как найти точки минимума, однако существует понятие и точек максимума функции. Если минимум обозначает те точки, в которых функция переходит со знака минуса на плюс, то точками максимума являются те точки на оси абсцисс, на которых производная функции меняется с плюса на противоположный - минус.

Находить точки максимума можно по вышеописанному способу, только следует учесть, что они обозначают те участки, на которых функция начинает убывать, то есть производная будет меньше нуля.

В математике принято обобщать оба понятия, заменяя их словосочетанием "точки экстремумов". Когда в задании просят определить эти точки, это значит, что необходимо вычислить производную данной функции и найти точки минимума и максимума.

fb.ru

как найти критическую точку максимума и минимума

Из данной статьи читатель узнает о том, что такое экстремум функционального значения, а также об особенностях его использования в практической деятельности. Изучение такого концепта крайне важно для понимания основ высшей математики. Эта тема является основополагающей для более глубокого изучения курса.

...

Вконтакте

Facebook

Twitter

Google+

Мой мир

Что такое экстремум?

В школьном курсе дается множество определений понятия «экстремум». Данная статья призвана дать самое глубокое и четкое представление о термине для несведущих в вопросе лиц. Итак, под термином понимают, насколько функциональный промежуток приобретает минимальное либо максимальное значение на том или ином множестве.

Экстремум – это и минимальное значение функции, и максимальное одновременно. Различают точку минимума и точку максимума, то есть крайние значения аргумента на графике. Основные науки, в которых используют данный концепт:

Точки экстремума играют важную роль в определении последовательности заданной функции. Система координат на графике в лучшем виде показывает изменение экстремального положения в зависимости от изменения функциональности.

Экстремумы производной функции

Имеет также место такое явление, как «производная». Она необходима для определения точки экстремума. Важно не путать точки минимума либо максимума с наибольшим и наименьшим значением. Это разные понятия, хотя могут показаться похожими.

Производная функция

Значение функции является основным фактором для определения того, как найти точку максимума. Производная не образуется от значений, а исключительно от крайнего ее положения в том или ином его порядке.

Сама же по себе производная определяется на основе данных точек экстремума, а не наибольшего или наименьшего значения. В российских школах недостаточно четко проводят грань между этими двумя концептами, что влияет на понимание данной темы вообще.

 

Острый экстремум

Давайте теперь рассмотрим такое понятие как «острый экстремум». На сегодняшний день выделяют острый минимум значения и острый максимум значения. Определение дано в соответствии с российской классификацией критических точек функции. Концепт точки экстремума лежит в основе нахождения критических точек на графике.

Острый экстремум

Важно! Процесс нахождения точек острого экстремума функции называется дифференцированием и используется как в школьном курсе изучения алгебры и начала анализа, так и в ходе освоения высшей математики в университете.

Экстремальное значение функции

Для определения такого понятия прибегают к использованию теоремы Ферма. Она является важнейшей в ходе изучения крайних точек и дает четкое представление об их существовании в том или ином их виде. Для обеспечения экстремальности важно создать определенные условия для убывания либо возрастания на графике.

Для точного ответить на вопрос «как найти точку максимума», необходимо следовать таким положениям:

  1. Нахождение точной области определения на графике.
  2. Поиск производной функции и точки экстремума.
  3. Решать стандартные неравенства на область нахождения аргумента.
  4. Уметь доказывать, в каких функциях точка на графике определена и непрерывна.

Экстремальное значение функции

Внимание! Поиск критической точки функции возможен только в случае существования производной не менее второго порядка, что обеспечивается высокой долей наличия точки экстремума.

Необходимое условие экстремума функции

Для того чтобы существовал экстремум, важно, чтобы были как точки минимума, так и точки максимума. В случае если это правило соблюдено лишь частично, то условие существование экстремума нарушается.

Точки минимума и максимума

Каждая функция в любом положении должна быть продифференцирована с целью выявления ее новых значений. Важно понимать, что случай обращения точки в ноль не является основным принципом нахождения дифференцируемой точки.

Острый экстремум, также как и минимум функции – это крайне важный аспект решения математической задачи с использованием экстремальных значений. Для того чтобы лучше понимать данную составляющую, важно обратиться к табличным значениям по заданию функционала.

Полное исследование значения Построение графика значения
1.      Определение точек возрастания и убывания значений.

2.      Нахождение точек разрыва, экстремума и пересечение с координатными осями.

3.      Процесс определения изменений положения на графике.

4.      Определение показателя и направления выпуклости и выгнутости с учетом наличия асимптот.

5.      Создание сводной таблицы исследования с точки зрения определения ее координат.

6.      Нахождение промежутков возрастания и убывания крайних и острых точек.

7.      Определение выпуклости и вогнутости кривой.

8.      Построение графика с учетом исследования позволяет найти минимум либо максимум.

 

 

 

 

 

Основным элементом при необходимости работы с экстремумами является точное построение его графика.

Школьные учителя не часто уделяют столь важному аспекту максимум внимания, что является грубейшим нарушением учебного процесса.

Построение графика происходит только по итогам исследования функциональных данных, определения острых экстремумов, а также точек на графике.

Острые экстремумы производной функции отображаются на графике точных значений, с использованием стандартной процедуры определения асимптот.

Точки максимума и минимума функции сопровождаются более сложными построениями графика. Это обусловлено более глубокой необходимостью прорабатывать проблему острого экстремума.

Необходимо также находить производную сложной и простой функции, так как это одно из самых главных понятий проблематики экстремума.

 

 

 

 

Экстремум функционала

Для того чтобы отыскать вышеозначенное значение, необходимо придерживаться следующих правил:

  • определить необходимое условие экстремального отношения;
  • учитывать достаточное условие крайних точек на графике;
  • осуществлять расчет острого экстремума.

Используются также такие понятия, как слабый минимум и сильный минимум. Это необходимо учитывать при определении экстремума и точного его расчета. При этом острый функционал – это поиск и создание всех необходимых условий для работы с графиком функции.

 

Экстремумы функции. 10 класс.

 

Исследование функции. Экстремумы функции — bezbotvy

 

Вывод

После прочтения и осознания данной статьи любой новичок в математике имеет возможность понять возможности острых экстремумов в том виде, в каком они используются в образовательном процессе. Вышеперечисленные моменты позволяют разобраться в крайних точках без помощи репетиторов.

uchim.guru

Как найти экстремум (точки минимума и максимума) функции

Простой алгоритм нахождения экстремумов. Учимся находить с bugaga.net.ru.
  • Находим производную функции
  • Приравниваем эту производную к нулю
  • Находим значения переменной получившегося выражения (значения переменной, при которых производная преобразуется в ноль)
  • Разбиваем этими значениями координатную прямую на промежутки (при этом не нужно забывать о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую), все эти точки называются точками «подозрительными» на экстремум
  • Вычисляем, на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких – отрицательной. Для этого нужно подставить значение из промежутка в производную.

Из точек, подозрительных на экстремум, надо найти именно экстремумы. Для этого смотрим на наши промежутки на координатной прямой. Если при прохождении через какую-то точку знак производной меняется с плюса на минус, то эта точка будет максимумом, а если с минуса на плюс, то минимумом.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в точках экстремума. Затем выбрать наибольшее и наименьшее значение.

https://bugaga.net.ru/ege/math/ekstremum.html bugaga.net.ru

Рассмотрим пример Находим производную и приравниваем её к нулю:Полученные значения переменных наносим на координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков. Ну например, для первого возьмём -2, тогда производная будет равна -0,24, для второго возьмём 0, тогда производная будет 2 , а для третьего возьмём 2, тогда производная будет -0,24. Проставляем соответствующие знаки.

Видим, что при прохождении через точку -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет точка минимума, а при прохождении через 1 – с плюса на минус, соответственно это точка максимума.

Смотрите также:

Еще больше материалов для подготовки к ЕГЭ

bugaga.net.ru

Критические точки функции: максимумы и минимумы

 

Рассмотрим следующий рисунок.

рисунок

На нем изображен график функции y = x^3 – 3*x^2. Рассмотрим некоторый интервал содержащий точку х = 0, например от -1 до 1. Такой интервал еще называют окрестностью точки х = 0. Как видно на графике, в этой окрестности функция y = x^3 – 3*x^2 принимает наибольшее значение именно в точке х = 0. 

Максимум и минимум функции

В таком случае, точку х = 0 называют точкой максимума функции. По аналогии с этим, точку х = 2 называют точкой минимума функции y = x^3 – 3*x^2. Потому что существует такая окрестность этой точки, в которой значение в этой точке будет минимальным среди всех других значений из этой окрестности. 

Точкой максимума функции f(x) называется точка x0, при условии, что существует окрестность точки х0 такая, что для всех х не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(x0).

Точкой минимума функции f(x) называется точка x0, при условии, что существует окрестность точки х0 такая, что для всех х не равных х0 из этой окрестности, выполняется неравенство f(x) > f(x0).

В точках максимума и минимума функций значение производной функции равно нулю. Но это не достаточное условие для существования в точке максимума или минимума функции.

Например, функция y = x^3 в точке х = 0 имеет производную равную нулю. Но точка х = 0 не является точкой минимума или максимума функции. Как известно функция y = x^3 возрастает на всей числовой оси.

Таким образом, точки минимума и максимума всегда будут находиться среди корне уравнения f’(x) = 0. Но не все корни этого уравнения будут являться точками максимума или минимума.

Стационарные и критические точки

Точки, в которых значение производной функции равно нулю, называются стационарными точками. Точки максимума или минимума могут иметься и вточках, в которых производной у функции вообще не существует. Например, у = |x| в точке х = 0 имеет минимум, но производной в этой точке не существует. Эта точка будет являться критической точкой функции.

Критическими точками функции называются точки, в которых производная равна нулю, либо производной в этой точке не существует, то есть функция в этой точке недифференцируема. Для того чтобы найти максимум или минимум функции необходимо выполнение достаточного условия.

Пусть f(x) некоторая дифференцируемая на интервале (a;b) функция. Точка х0 принадлежит этому интервалу и f’(x0) = 0. Тогда:

1. если при переходе через стационарную точку х0 функция f(x) и её производная меняет знак, с «плюса» на «минус», тогда точка х0 является точкой максимума функции.

2. если при переходе через стационарную точку х0 функция f(x) и её производная меняет знак, с «минуса» на «плюс», тогда точка х0 является точкой минимума функции.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Касательная к графику ункции: уравнение касательной Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspПримеры применения производной к исследованию функции: ↑ и ↓

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

Экстремумы функции, максимум и минимум

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Экстремумами (максимумами и минимумами) функции называются значения функции в точках максимума и минимума.

Точки экстремума функции

Говорят, что в точке максимум (минимум), если существует такая -окрестность точки — , что для всех из этой окрестности, отличных от выполняется неравенство .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Необходимое условие существования экстремума функции. Пусть функция дифференцируема в промежутке . Если в некоторой точке функция имеет экстремум, то в этой точке производная равна нулю: .

Достаточное условие существования экстремума функции. Если производная функции равна нулю в точке и при переходе через эту точку в сторону возрастания меняет знак с «+» («-») на «-» («+»), то в точке функция имеет максимум (минимум). Если же при переходе через точку производная функции не меняет знак, то в этой точке функция экстремума не имеет.

Для исследования функции на экстремум необходимо:

  1. найти критические точки функции;
  2. проверить, изменяет ли знак производная функции при переходе через критическую точку;
  3. вычислить значения максимума или минимума .

Примеры исследования функции на экстремум

ПРИМЕР 1
Задание Найти экстремум функции
Решение Найдем критические точки функции, для этого вычислим производную заданной функции

   

приравняем её к нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения

   

Получили две критические точки . Обозначим найденные корни на числовой оси и определим знак производной на полученных интервалах.

В точке производная меняет знак с «+» на «-», значит в этой точке максимум. Вычислим значение максимума

   

В точке производная меняет знак с «-» на «+», значит, — точка минимума. Значение минимума соответственно равно

   

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти экстремум функции

   

Решение Область определения функции — вся числовая прямая, за исключением точки , то есть .

Вычислим производную заданной функции и найдем критические точки

   

Приравниваем к нулю производную

   

Получаем одну критическую точку . Обозначим на числовой оси область определения функции и найденную критическую точку и определим знак производной на полученных интервалах

В точке производная меняет знак с «-» на «+», значит, в этой точке минимум. Значение минимума соответственно равно

   

Ответ
Читайте также:

Монотонность функции

Нули функции

Наибольшее и наименьшее значение функции

Точки перегиба функции

Промежутки выпуклости и вогнутости функции

Исследование функции

ru.solverbook.com

Что такое точки экстремума функции?

Экстре&#769;мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум). <img src="//otvet.imgsmail.ru/download/7a52f26943a5e0b677b540881c86d67e_i-151.jpg" > Пусть дана функция и — внутренняя точка области определения f. Тогда x0 называется точкой локального максимума функции f, если существует проколотая окрестность такая, что x0 называется точкой локального минимума функции f, если существует проколотая окрестность такая, что Если неравенства выше строгие, то x0 называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно. x0 называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если x0 называется точкой абсолютного минимума, если Значение функции f(x0) называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума. [править] Замечание Функция f, определённая на множестве M, может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например, [править] Необходимые условия существования локальных экстремумов Лемма Ферма. Пусть функция дифференцируема в точке локального экстремума x0. Тогда: . Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу) , то она равна нулю. [править] Достаточные условия существования локальных экстремумов Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии x0 является точкой строгого локального максимума. А если то x0 является точкой строгого локального минимума. Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке x0 Пусть функция f непрерывна и дважды дифференцируема в точке x0. Тогда при условии и x0 является точкой локального максимума. А если и то x0 является точкой локального минимума. <a rel="nofollow" href="http://ru.wikipedia.org/wiki/Экстремум" target="_blank">http://ru.wikipedia.org/wiki/Экстремум</a>

Правило исследования функции y=f(x) на экстремум 1. Найти область определения функции f(x). 2. Найти первую производную функции f '(x). 3. Определить критические точки, для этого: 1. найти действительные корни уравнения f '(x)=0; 2. найти все значения x при которых производная f '(x) не существует. 4. Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки. 5. Вычислить значение функции в точках экстремума. <a href="/" rel="nofollow" title="204779:##:http://www.toehelp.ru/theory/math/lecture09/lecture09.html" target="_blank" >[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>

Я в 8 классе у нас этого не учат, у тебя что за учебник?

touch.otvet.mail.ru

Как найти точку минимума функции по уравнению

Как найти точку минимума функции по уравнению функции у = 4х — ln (х + 5) + 8Для определения точек минимума функции достаточно выполнить следующий порядок действий:

  1. Найти производную заданной функции.
  2. Приравнять выражение производной к нулю и решить его.
  3. Нанести корни уравнения на числовую прямую для получения промежутков. Также на ней нужно отметить точки, в которых производная не будет существовать.
  4. Найти на полученных промежутках знаки производной.
  5. Вычислить точки мин-ма.

Рассмотрим заданную ф-цию у = 4х — ln (х + 5) + 8.Для этой функции есть только одно ограничение — сумма под знаком логарифма не может быть меньше или равной нулю:х + 5 0x —5.То есть ф-ция существует только для аргумента больше —5.Производная заданной ф-ции:

   

Составим ур-ние:

   

   

   

   

   

Наносим на числовую прямую точку —5, в которой производная не может существовать, и точку —4,75. Найдем знаки производной на полученных промежутках. Для этого подставим в уравнение производной любое значение из каждого промежутка:

   

   

По поведению производной на промежутках делаем вывод, что если при х= —4,75 производная меняет знак с «—» на «+», то данная точка — т. минимума.

Ответ. — 4,75.

ru.solverbook.com